Problema 1324

Se considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}(x+4)^2-4&\text{si}&x\leq-2\\t&\text{si}&-2<x<2\\(x-4)^2-4&\text{si}&x\geq2\end{array}\right.

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x=-2.
b) Para t=3, representa gráficamente la función f.


Solución:

a) Estudiamos la continuidad de f en x=-2:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^+}t=t\\\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^-}=(x+4)^2-4=0\\\bullet~f(-2)=(-2+4)^2-4=0

Para que f sea continua en x=-2 ha de ser t=0.


b) Para t=3 tenemos:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}(x+4)^2-4&\text{si}&x\leq-2\\3&\text{si}&-2<x<2\\(x-4)^2-4&\text{si}&x\geq2\end{array}\right.

Recordamos que la representación gráfica de la función y=x^2 es una parábola convexa cuyo vértice está en (0,0) y pasa por los puntos (1,1) y (-1,1).
La función parcial y=(x+4)^2-4 tiene por gráfica la misma parábola anterior pero trasladada 4 unidades hacia abajo y 4 unidades hacia la izquierda; tiene su vértice en (-4,-4) y pasa por los puntos (-5,-3), (-3,-3) y (-2,0).
La función parcial y=3 se representa gráficamente por una recta horizontal que pasa por los puntos (-2,3) y (2,3).
La función parcial y=(x-4)^2-4 tiene por gráfica una parábola igual que y=x^2 pero trasladada 4 unidades hacia abajo y 4 unidades hacia la derecha; tiene su vértice en (4,-4) y pasa por los puntos (2,0), (3,-3) y (5,-3).

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