Problema 1325

La función f(x)=ax^3+bx^2+16x+c tiene un punto de inflexión en (1, 10) y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es 7. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros a, b y c.


Solución:

La función f tiene un punto de inflexión en (1,10):

\bullet~f(1)=10\\\\\bullet~f''(1)=0

La pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es 7:

\bullet~f'(1)=7

Utilizamos estos datos para plantear un sistema de ecuaciones:

\begin{array}{lcl}f(x)=ax^3+bx^2+16x+c&\rightarrow&f(1)=a+b+16+c\\f'(x)=3ax^2+2bx+16&\rightarrow&f'(1)=3a+2b+16\\f''(x)=6ax+2b&\rightarrow&f''(1)=6a+2b\end{array}

\left\{\begin{array}{l}a+b+16+c=10\\3a+2b+16=7\\6a+2b=0\end{array}\right.\qquad\rightarrow\qquad\left\{\begin{array}{rl}a+b+c&=-6\\3a+2b&=-9\\6a+2b&=0\end{array}\right.

Si a la tercera ecuación le restamos la segunda resulta 3a=9, de donde \boxed{a=3}.
Sustituyendo este valor de a en la tercera ecuación obtenemos \boxed{b=-9}.
Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos \boxed{c=0}.

CLM-MCCSS-O-20-S1B1E2

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