Problema 1326

Un artesano hace botines, botas de media caña y botas de caña alta, vendiendo cada par, respectivamente, a 150, 200 y 250 euros. La diferencia entre los botines y las botas de caña alta vendidas equivalen al número de caña media vendidas. El número de caña alta vendidas es la tercera parte de los botines. Por el total de las ventas obtiene 5500 euros.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botas de cada tipo se vendieron.
b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.


Solución:

a) Sea x, yz el número de botines, botas de media caña y botas de caña alta vendidas, respectivamente, por el artesano.
La diferencia entre los botines y las botas de caña alta vendidas equivalen al número de caña media vendidas:

x-z=y

El número de caña alta vendidas es la tercera parte de los botines:

z=\dfrac x3\qquad\longrightarrow\qquad x-3z=0

Por el total de las ventas obtiene 5500 euros:

150x+200y+250z=5500\qquad\overset{:50}\longrightarrow\qquad3x+4y+5z=110

Con las ecuaciones resultantes formamos el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x-y-z&=0\\x-3z&=0\\3x+4y+5z&=110\end{array}\right.


b) Utilizamos el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x-y-z&=0\\x-3z&=0\\3x+4y+5z&=110\end{array}\right.\rightarrow\Big[E_3+4E_1\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\\\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x-y-z&=0\\x-3z&=0\\7x+z&=110\end{array}\right.\rightarrow\Big[E_3-7E_2\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\\\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x-y-z&=0\\x-3z&=0\\22z&=110\end{array}\right.

De la última ecuación obtenemos z=5. Sustituyendo en la segunda obtenemos x=15. Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos y=10.
El artesano ha vendido 15 botines, 10 botas de media caña y 5 botas de caña alta.

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