Problema 1327

En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función f(x,y)=6x-2y sujeta a las siguientes restricciones:

x+y\geq2;~x-y\leq2;~y\leq1;~x\geq0

a) Dibuja la región factible.
b) Determina los vértices de la región factible.
c) Indica el máximo y el mínimo y sus respectivos valores.


Solución:

a) Dadas las restricciones, escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos en una misma gráfica:

\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\x-y=2\\y=1\\x=0\end{array}\right.

La región factible es la región sombreada que es el lugar de los puntos que verifican todas las restricciones.


b) Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas de ecuaciones:

\begin{array}{lcl}A:~\left\{\begin{array}{l}y=1\\x+y=2\end{array}\right.&\rightarrow&A=(1,1)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}y=1\\x-y=2\end{array}\right.&\rightarrow&B=(3,1)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\x-y=2\end{array}\right.&\rightarrow&C=(2,0)\end{array}


c) Evaluamos la función objetivo f(x,y)=6x-2y en los vértices:

A\rightarrow f(1,1)=6\cdot1-2\cdot1=4\\\\B\rightarrow f(3,1)=16\\\\C\rightarrow f(2,0)=12

El máximo se tiene con x=3, y=1 donde la función tiene un valor de 16. El mínimo se obtiene con x=1, y=1 donde la función tiene un valor de 4.

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