Problema 1329

Para hacer un estudio de las horas de duración de la batería de un juguete, se tomó una muestra aleatoria de 10 de estas baterías, siendo el número de horas de duración obtenida de: 4.2, 4.6, 5, 5.7, 5.8, 5.9, 6.1, 6.2, 6.5 y 7.3 respectivamente.Sabiendo que la variable “número de horas de duración de la batería” sigue una distribución normal de desviación típica 2.1 horas, se pide:

a) Halla el intervalo de confianza para el número medio de horas de duración de la batería con un nivel de confianza del 97%.
b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza.
c) ¿Crees que la media poblacional μ del número de horas es de 4 horas con una probabilidad del 90%? Razona tu respuesta.


Solución:

a) El valor medio muestral para el número de horas de duración de las baterías es:

\bar x=\dfrac{\Sigma x_i}N=\dfrac{57.3}{10}=5.73

Para un nivel de confianza del 97% tenemos:

p=\dfrac{1+0.97}2=0.985

Buscando en la tabla de probabilidades tenemos que z_{\alpha/2}=2.17.
El error máximo es:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=2.17\cdot\dfrac{2.1}{\sqrt{10}}=1.44

Y el intervalo de confianza resulta:

(\bar x-E,\bar x+E)=\boxed{(4.29,7.17)}


b) La amplitud del intervalo de confianza es A=2E, luego, para disminuir la amplitud hay que disminuir el error máximo E.
Para disminuir el error, E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}, hay dos opciones:

  • Disminuimos z_{\alpha/2} y por tanto el nivel de confianza.
  • Aumentamos n, el número de baterías de la muestra.

c) Si con un 97% el intervalo de confianza es (4.29,7.17), según se vio en el apartado b), al disminuir el intervalo de confianza al 90% disminuye la amplitud del intervalo de confianza para la media poblacional \mu. Si con un nivel de confianza del 97% no es probable una media poblacional de 4 horas, tampoco lo es con un 90%.

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