Problema 1330

Se considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x+t&\text{si}&x\leq-1\\x^3-2x^2+4&\text{si}&x>-1\end{array}\right.

a) ¿Para qué valor de t la función f es continua en x=-1?
b) Calcula los extremos relativos de la función f en el intervalo (-1,+\infty).
c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f en (-1,+\infty).


Solución:

a) Estudiamos la continuidad de f en x=-1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}x^3-2x^2+4=-1-2+4=1\\\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}x+t=-1+t\\\bullet~f(-1)=-1+t

Igualamos estos resultados:

1=-1+t

cuya solución es t=2.


b) En el intervalo dado la función toma el valor de la función parcial y(x)=x^3-2x^2+4. Calculamos sus puntos críticos:

y'(x)=3x^2-4x=0~;\\\\x(3x-4)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0,~x=\frac43. Aplicamos el test de la derivada segunda para caracterizar los puntos críticos:

y''(x)=6x-4\\\\y''(0)=-4<0\\y''(\frac43)=4>0

Dado que:

\bullet~f(0)=4\\\\\bullet~f(\frac43)=\dfrac{76}{27}\approx2.8

tenemos un máximo en (0,4) y un mínimo en (\frac43,\frac{76}{27}).


c) Utilizando los puntos críticos del apartado b), estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-1,0)&(0,\frac43)&(\frac43,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(-1,0)\cup(\frac43,+\infty)
  • f decrece en x\in(0,\frac43)

CLM-MCCSS-O-20-S2B2E3

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