Problema 1331

Las botellas de agua vendidas por un hipermercado (que abre de 10 de la mañana a 4 de la tarde) durante una ola de calor viene dado por la función C(t)=2t^3-27t^2+120t, con 1\leq t\leq6 siendo t= 1 la primera hora desde la apertura y t= 6 la última hora hasta el cierre y C en cientos de botellas.

a) ¿En que intervalos de tiempo las ventas aumentan? ¿Y en cuáles disminuye?
b) ¿Cuándo se produce la máxima venta? ¿Y la mínima?
c) ¿Cuántas botellas se venden en esos dos casos?


Solución:

a) Para estudiar la monotonía de C, comenzamos calculando sus puntos críticos:

C'(t)=6t^2-54t+120=0~;\\\\3t^2-27t+60=0~;\\\\t^2-9t+20=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son t=4 y t=5.
Dados estos puntos críticos, estudiamos la monotonía de C en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(1,4)&(4,5)&(5,6)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Las ventas aumentan entre la primera y cuarta hora, y en la última hora.
  • Las ventas disminuyen entre la cuarta y la quinta hora.

b) Los puntos candidatos a ser máximos están en t=4 y t=6. Evaluamos la función en ambos puntos:

\bullet~C(4)=2\cdot4^3-27\cdot4^2+120\cdot4=176\\\\\bullet~C(6)=2\cdot6^3-27\cdot6^2+120\cdot6=180

Las máximas ventas se obtienen en la sexta hora.
Los candidatos a ventas mínimas están en t=1 y t=5. Evaluamos la función en esos casos:

\bullet~C(1)=95\\\\\bullet~C(5)=175

Las mínimas ventas se dan en la primera hora.


c) Las mínimas ventas son de 9500 botellas y las máximas son de 18000 botellas.

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