Problema 1332

Una marca ofrece paquetes de tortitas de arroz de tres tipos: con espelta, con amapola y con chía. Se venden el triple de paquetes de las de amapola que de las de espelta. Se venden 40 paquetes más de las de amapola que de las de chía. Los precios de los paquetes para espelta, amapola y chía son respectivamente 2.50, 3.50 y 3 euros obteniendo por la venta de todas las tortitas 1640 euros.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos paquetes de cada tipo se vendieron.
b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.


Solución:

a) Sea xy, z el número de paquetes de tortitas con espelta, amapola y chía vendidos respectivamente.
Se venden el triple de paquetes de las de amapola que de las de espelta:

y=3x

Se venden 40 paquetes más de las de amapola que de las de chía:

y=z+40

Por la venta de todas las tortitas se obtiene 1640 euros:

2.5x+3.5y+3z=1640\qquad\overset{\cdot2}\longrightarrow\qquad5x+7y+6z=3280

El sistema resultante es:

\left\{\begin{array}{rl}3x-y&=0\\y-z&=40\\5x+7y+6z&=3280\end{array}\right.


b) Resolvemos el sistema utilizando transformaciones de Gauss-Jordan:

\left\{\begin{array}{rl}3x-y&=0\\y-z&=40\\5x+7y+6z&=3280\end{array}\right.\rightarrow\Big[3E_3-5E_1\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}3x-y&=0\\y-z&=40\\26y+18z&=9840\end{array}\right.\rightarrow\Big[E_3-26E_2\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}3x-y&=0\\y-z&=40\\44z&=8800\end{array}\right.

De la última ecuación obtenemos z=\frac{8800}{44}=200. Sustituyendo en la segunda:

y-200=40~;\\\\y=240

Y, sustituyendo en la primera ecuación:

3x-240=0~;\\\\x=80

Se vendieron 80 paquetes de tortitas con espelta, 240 con amapola y 200 con chía.

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