Problema 1368

El número de usuarios diarios del transporte metropolitano sigue una distribución normal con desviación típica 108.

a) Si la media de usuarios diarios fuese 1700, ¿cuál sería la probabilidad de que la media de usuarios de 36 días fuese más de 1678?
b) En los 100 primeros días del año, la media diaria de usuarios ha sido 1750, determina un intervalo de confianza del 95 % para la media de viajeros.


Solución:

a) Tenemos una distribución normal N\left(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt n}\right)=N\left(1700,\frac{108}{\sqrt{36}}\right)=N(1700,18). Nos piden la probabilidad P[\bar x>1678]. Tipificamos y utilizamos la tabla de probabilidades:

P[\bar x>1678]=P\left[z>\dfrac{1678-1700}{18}\right]=P[z>-1.222]=\\\\=P[z<1.222]=0.8892


b) Para un nivel de confianza del 95% tenemos:

p=\dfrac{1+0.95}2=0.975

Buscando en la tabla de probabilidades nos da z_{\alpha/2}=1.96. El intervalo de confianza es:

\left(\bar x-z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\bar x+z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)=\\\\=\left(1750-1.96\cdot\dfrac{108}{\sqrt{100}},1750+1.96\cdot\dfrac{108}{\sqrt{100}}\right)=(1728,1771.1)

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