Problema 1369

En una clase hay 24 estudiantes, 12 de ellos han aprobado inglés, 16 han aprobado matemáticas y 4 han suspendido las dos asignaturas .

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un alumno de esa clase resulte que haya aprobado matemáticas y haya suspendido inglés?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un alumno de esa clase resulte que haya aprobado las dos asignaturas?
c) ¿Son independientes los sucesos aprobar matemáticas y aprobar inglés?


Solución:

Sea I el suceso «aprobar inglés» y sea M el suceso «aprobar matemáticas». Conocemos las siguientes probabilidades:

\bullet~P[I]=\frac{12}{24}=\frac12\\\bullet~P[M]=\frac{16}{24}=\frac23\\\bullet~P[\overline{I\cup M}]=\frac4{24}=\frac16

a) Nos piden la probabilidad P[M\cap\bar I]:

P[M\cap\bar I]=P[M]-P[M\cap I]\qquad(1)

Dado que:

P[\overline{I\cup M}]=1-P[I\cup M]=1-(P[M]+P[I]-P[M\cap I])~;\\\\P[\overline{I\cup M}]=1-P[M]-P[I]+P[M\cap I]~;\\\\P[M\cap I]=P[\overline{I\cup M}]+P[M]+P[I]-1=\\\\=\dfrac16+\dfrac12+\dfrac23-1=\dfrac13

Sustituyendo en (1):

P[M\cup\bar I]=\dfrac23-\dfrac13=\boxed{\dfrac13}


b) Nos piden la probabilidad P[M\cap I] calculado en el apartado anterior:

P[M\cap I]=\boxed{\dfrac13}


c) Los dos sucesos son independientes si P[M\cap I]=P[M]\cdot P[I]:

\bullet~P[M\cap I]=\dfrac13\\\\\bullet~P[M]\cdot P[I]=\dfrac23\cdot\dfrac12=\dfrac13

Luego, ambos sucesos son independientes.

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