Problema 1409

Un almacén de frutos secos tiene un saco de 50 kg de almendras y otro de 25 kg de avellanas. Quiere mezclarlos para preparar bolsas mixtas para su venta. La cantidad de almendras de la mezcla ha de ser como mínimo 1,5 veces la cantidad de avellanas. Además, para que le sea rentable la preparación, deberá vender al menos 60 kg entre ambos tipos de frutos secos. Por otra parte, no puede vender más de 70 kg entre ambos.
Represente la región factible. Calcule la cantidad de cada fruto seco que ha de contener la mezcla para obtener el máximo beneficio si un kg de almendras le deja un beneficio de 1 € y un kg de avellanas de 2 €, y obtenga el beneficio que se obtiene con la venta de esta mezcla.


Solución:

Se trata de un problema de programación lineal. Sea x e y el número de kg de almendras y avellanas que se deben utilizar para preparar la mezcla.
La cantidad de almendras de la mezcla ha de ser como mínimo 1.5 veces la cantidad de avellanas:

x\geq1.5y\qquad\rightarrow\qquad2x-3y\geq0

Hay un saco de 50 kg de almendras:

x\leq50

y un saco de 25 kg de avellanas:

y\leq25

Deberá vender al menos 60 kg entre ambos frutos secos:

x+y\geq60

No se pueden vender más de 70 kg entre ambos:

x+y\leq70

Junto con las restricciones de positividad expresamos todas las restricciones en el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}2x-3y\geq0\\x\leq50\\y\leq25\\x+y\geq60\\x+y\leq70\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas, las representamos y obtenemos la región factible:

\left\{\begin{array}{l}2x-3y=0\\x=50\\y=25\\x+y=60\\x+y=70\\x=0\\y=0\end{array}\right.

Calculamos los vértices de la región factible:

\begin{array}{lcl}A:~\left\{\begin{array}{l}2x-3y=0\\x+y=60\end{array}\right.&\rightarrow&A=(36,24)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}2x-3y=0\\y=25\end{array}\right.&\rightarrow&B=(37.5,25)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}x+y=70\\y=25\end{array}\right.&\rightarrow&C=(45,25)\\\\D:~\left\{\begin{array}{l}x+y=70\\x=50\end{array}\right.&\rightarrow&D=(50,20)\\\\E:~\left\{\begin{array}{l}x+y=60\\x=50\end{array}\right.&\rightarrow&E=(50,10)\end{array}

Dado que el beneficio por kg de almendras es 1 € y de avellanas es 2 €, la función beneficio total es:

f(x,y)=x+2y

Evaluamos la función beneficio en cada vértice:

\begin{array}{ll}A&\rightarrow f(36,24)=36+2\cdot24=84\\B&\rightarrow f(37.5,25)=87.5\\C&\rightarrow f(45,25)=95\\D&\rightarrow f(50,20)=90\\E&\rightarrow f(50,10)=70\end{array}

El máximo beneficio se obtiene en el vértice C, con la mezla de 45 kg de almendras y 25 kg de avellanas. El valor de esta mezcla es 95 €.

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