Problema 1410

Se considera la función real de variable real, definida f(x)=(x^2-3)e^x.

a) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y determine sus extremos relativos indicando si corresponden a máximos o mínimos.
b) Calcule

\displaystyle\int_1^2e^{-x}f(x)~dx


Solución:

a) Comenzamos calculando los puntos críticos de f:

f'(x)=2xe^x+(x^2-3)e^x=e^x(x^2+2x-3)=0

ecuación cuyas soluciones son x=1,~x=-3.
Conociendo estos puntos críticos y dado que el dominio de f es \mathbb R, estudiamos su monotonía en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-3)&(-3,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)
  • f decrece en x\in(-3,1)
  • f tiene un máximo en (-3,f(-3))=(-3,6e^{-3})
  • f tiene un mínimo en (1,f(1))=(1,-2e)

b) Simplificamos y calculamos la integral inmediata:

\displaystyle\int_1^2e^{-x}(x^2-3)e^x~dx=\int_1^2x^2-3~dx=\left[\dfrac{x^3}3-3x\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac{2^3}3-3\cdot2\right)-\left(\dfrac{1^3}3-3\cdot1\right)=\dfrac{-10}3-\dfrac{-8}3=\boxed{\dfrac{-2}3}

Mad-MCCSS-O-21-B3

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