Problema 1411

Se consideran los sucesos A y B de un experimento aleatorio tales que:

P[A]=0.5\qquad P[\bar B/A]=0.4\qquad P[A\cup B]=0.9

a) Calcule P[B/\bar A].
b) Determine si son dependientes o independientes los sucesos A y B. Justifique la respuesta.


Solución:

a) Sabemos que:

\bullet~P[B/A]=1-P[\bar B/A]=1-0.4=0.6

De aquí obtenemos:

\bullet~P[A\cap B]=P[A]\cdot P[B/A]=0.5\cdot0.6=0.3

y de aquí:

P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B]~;\\\\P[B]=P[A\cup B]-P[A]+P[A\cap B]~;\\\\\bullet~P[B]=0.9-0.5+0.3=0.7

Dado que:

P[B]=P[A]\cdot P[B/A]+P[\bar A]\cdot P[B/\bar A]~;\\\\0.7=0.5\cdot0.6+(1-0.5)\cdot P[B/\bar A]

y por último:

P[B/\bar A]=\dfrac{0.7-0.3}{0.5}=\boxed{0.8}


b) Dos sucesos A y B son independientes si:

\boxed{P[A\cap B]=P[A]\cdot P[B]}

\bullet~P[A\cap B]=0.3\\\bullet~P[A]\cdot P[B]=0.5\cdot0.7=0.35

Ambos resultados no son iguales, luego A y B no son sucesos independientes.

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