Problema 1466

Sea la matriz

A=\begin{pmatrix}2&3&\alpha\\1&\alpha&1\\0&\alpha&-1\end{pmatrix}

a) Determinar para qué valores del parámetro \alpha la matriz A no tiene inversa.
b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de A para \alpha=2.


Solución:

a) La matriz A no tiene inversa si su determinante es igual a 0:

|A|=\begin{vmatrix}2&3&\alpha\\1&\alpha&1\\0&\alpha&-1\end{vmatrix}=-2\alpha+\alpha^2+3-2\alpha~;\\\\\alpha^2-4\alpha+3=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son \alpha=1,~\alpha=3, valores para los que A no tiene inversa.


b) Para \alpha=2 tenemos A=\begin{pmatrix}2&3&2\\1&2&1\\0&2&-1\end{pmatrix}. Calculamos su inversa con la fórmula:

A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t

|A|=2^2-4\cdot2+3=-1\\\\\text{Adj}A=\begin{pmatrix}-4&1&2\\7&-2&-4\\-1&0&1\end{pmatrix}\\\\A^{-1}=\dfrac1{-1}\begin{pmatrix}-4&1&2\\7&-2&-4\\-1&0&1\end{pmatrix}^t\\\\\boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix}4&-7&1\\-1&2&0\\-2&4&-1\end{pmatrix}}

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