Problema 1496

Dada la matriz A=\begin{pmatrix}-1&2&m\\0&m&0\\2&1&m^2+1\end{pmatrix}, se pide:

a) Obtened el rango de la matriz en función del parámetro m.
b) Explicad cuándo la matriz A es invertible.
c) Resolved la ecuación XA=I donde I es la matriz identidad en el caso m=1.


Solución:

a) Calculamos el determinante de A:

|A|=\begin{vmatrix}-1&2&m\\0&m&0\\2&1&m^2+1\end{vmatrix}=-m(m^2+1)-2m^2=-m^3-2m^2-m=\\\\\indent=-m(m^2+2m+1)=-m(m+1)^2

Determinante que se anula para m=0,~m=-1.

  • Si m\neq0 y m\neq-1 entonces rg(A)=3.
  • Si m=0 entonces A=\begin{pmatrix}-1&2&0\\0&0&0\\2&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=2\neq0.
  • Si m=-1 entonces A=\begin{pmatrix}-1&2&-1\\0&-1&0\\2&1&2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&2\\0&-1\end{vmatrix}=1\neq0.

b) Una matriz cuadrada es invertible siempre que su determinante sea distinto de 0. En el caso de la matriz A, es invertible cuando m\neq0 y m\neq-1.


c) Despejamos X:

XA=I~;\\\\X=IA^{-1}~;\\\\X=A^{-1}

La matriz inversa de A es:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

Para m=1:

A=\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&1&0\\2&1&2\end{pmatrix}\\\\|A|=-1\cdot(1+1)^2=-4\\\\\text{Adj}A=\begin{pmatrix}2&0&-2\\-3&-4&5\\-1&0&-1\end{pmatrix}\\\\A^{-1}=\dfrac1{-4}\cdot\begin{pmatrix}2&0&-2\\-3&-4&5\\-1&0&-1\end{pmatrix}^t=\dfrac{-1}4\cdot\begin{pmatrix}2&-3&-1\\0&-4&0\\-2&5&-1\end{pmatrix}

Es la solución de la ecuación matricial:

X=A^{-1}=\dfrac{-1}4\cdot\begin{pmatrix}2&-3&-1\\0&-4&0\\-2&5&-1\end{pmatrix}

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