Problema 1497

Dados el punto P(1,2,3) y el plano \pi:~3x+2y+z+4=0, se pide:

a) Calculad la distancia del punto P al plano \pi.
b) Calculad el punto P‘ que es simétrico del punto P respecto del plano \pi.
c) Calculad la ecuación del plano \pi' que pasa por P‘ y es paralelo a \pi.


Solución:

a) La distancia del punto al plano es:

d(P,\pi)=\dfrac{|3\cdot1+2\cdot2+3+4|}{\sqrt{3^2+2^2+1^2}}=\dfrac{14}{\sqrt{14}}=\boxed{\sqrt{14}\text{ u.a.}}


b) Primero calculamos una recta r perpendicular a \pi que pase por P(1,2,3).

El vector director de la recta es igual el vector normal del plano:

\vec v_r=\vec n=(3,2,1)

Tenemos así la recta en paramétricas:

\left\{\begin{array}{l}x=1+3\lambda\\y=2+2\lambda\\z=3+\lambda\end{array}\right.

Calculamos el punto M donde la recta corta al plano sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

3\cdot(1+3\lambda)+2\cdot(2+2\lambda)+(3+\lambda)+4=0~;\\\\14+14\lambda=0~;\\\\\lambda=-1

Sustituyendo \lambda=-1 en las paramétricas de la recta obtenemos M=(-2,0,2).
Aplicando la fórmula del punto medio obtenemos P‘:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P~;\\\\P'=2\cdot(-2,0,2)-(1,2,3)~;\\\\\boxed{P'=(-5,-2,1)}


c) El haz de planos paralelos a \pi es:

3x+2y+z+D=0

Sustituimos las coordenadas de P'=(-5,-2,1) en el haz:

3\cdot(-5)+2\cdot(-2)+1+D=0~;\\\\-15-4+1+D=0~;\\\\D=18

Luego \boxed{\pi':~3x+2y+z+18=0}

Deja un comentario