Problema 1498

Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 40 cm respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular R, uno de cuyos vértices es el punto (x, y) (véase la figura).

a) Hallad el área de la pieza rectangular obtenida como función de x, cuando 0\leq x\leq32.
b) Calculad las dimensiones que tendrá R para que su área sea máxima.
c) Calculad el valor de dicha área máxima.


Solución:

a) Primero calculamos la ecuación de la recta oblicua. Si el vértice inferior izquierdo del espejo original ocupa la posición (0,0) entonces el vértice superior del triángulo ocupa la posición (0,40) y el vértice derecho la posición (32,0). La recta oblicua pasa por estos dos puntos. Calculamos su ecuación y=mx+n:

m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{0-40}{32-0}=-1.25\\\\n=y_1-mx_1=40-(-1.25)\cdot0=40

La ecuación de la recta oblicua es y=-1.25x+40.

El área S de la pieza rectangular R es:

S=x\cdot y=\boxed{-1.25x^2+40x}


b) Calculamos los puntos críticos de S:

S'(x)=-2.5x+40=0~;\\\\x=\dfrac{40}{2.5}=16

Comprobamos que se trata de un máximo para el área utilizando el test de la derivada segunda:

S''(x)=-2.5~;\\\\S''(16)=-2.5<0

Se trata de un máximo. Para x=16 tenemos:

y=-1.25\cdot16+40=20

Luego las dimensiones de R son x=16,~y=20 en cm.


c) El valor del área de R en el caso x=16,~y=20 es:

S=16\cdot20=\boxed{320\text{ cm}^2}

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