Problema 1499

Un operador turístico vende a las agencias locales viajes concertados al Caribe, Islas Maldivas y Tailandia. A una primera agencia A le vende 10 viajes al Caribe, 10 a las Maldivas y 10 a Tailandia, cobrando por todo ello 12.000 euros. A una segunda agencia B le vende 10 viajes al Caribe y 20 a Tailandia, cobrando por todo ello 13.000 euros. Y a una tercera agencia C le vende 10 viajes al Caribe y 10 a las Maldivas, cobrando por todo ello 7.000 euros. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita calcular el precio del viaje a cada uno de los destinos. Y calcula, si es posible, dicho precio.
b) Si le obligasen a rebajar un 20 % el precio del viaje al Caribe dejando los otros iguales, ¿cuánto dinero perdería?
c) ¿Cuál sería el precio del viaje a las Islas Maldivas necesario para compensar la bajada del 20 % del viaje al Caribe y ası́ recaudar el mismo dinero? (se mantiene el precio del viaje a Tailandia).


Solución:

a) Sea x,~y,~z los precios del viaje al Caribe, Islas Maldivas y Tailandia respectivamente.

\left\{\begin{array}{rl}10x+10y+10z&=12000\\10x+20z&=13000\\10x+10y&=7000\end{array}\right.

Sistema que podemos simplificar:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=1200\\x+2z&=1300\\x+y&=700\end{array}\right.

En forma matricial:

\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&2\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1200\\1300\\700\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&2\\1&1&0\end{vmatrix}=2+1-2=1

El sistema es compatible determinado y lo podemos resolver con la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1200&1&1\\1300&0&2\\700&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&2\\1&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{1400+1300-2400}1=300\\\\y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1200&1\\1&1300&2\\1&700&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&2\\1&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{2400+700-1300-1400}1=400\\\\z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&1200\\1&0&1300\\1&1&700\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&2\\1&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{1300+1200-700-1300}1=500

Los precios al Caribe, Islas Maldivas y Tailandia son 300, 400 y 500 euros respectivamente.


b) En total el operador vende 30 viajes al Caribe que supone un ingreso de 30\cdot300=9000 euros. Si tiene que descontar un 20%:

0.20\cdot9000=1800

perdería 1800 euros.


c) En total el operador vende 20 viajes a las Islas Maldivas que supone un ingreso de 20\cdot400=8000 euros. Si le incluimos los 1800 euros perdidos serían 9800 euros a ingresar por los 20 viajes:

\dfrac{9800}{20}=490

Para compensar la rebaja del apartado b) el precio del viaje a las Islas Maldivas debería ser 490 euros.

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