Problema 1500

Sea la matriz A=\begin{pmatrix}a&0&-1\\-1&0&0\\0&1&a\end{pmatrix},~a\in\mathbb R y X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

a) Escribe el sistema de ecuaciones AX=X en la forma BX=0.
b) Estudia para qué valores de a el sistema tiene infinitas soluciones.
c) Para a = 0 calcula, si existe, la inversa de A.


Solución:

a) Despejamos X:

AX=X~;\\\\AX-X=0~;\\\\(A-I)X=0~;\\\\BX=0

Es decir B=A-I:

B=\begin{pmatrix}a&0&-1\\-1&0&0\\0&1&a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-1&0&-1\\-1&-1&0\\0&1&a-1\end{pmatrix}

Donde 0=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}. El sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}(a-1)x-z&=0\\-x-y&=0\\y+(a-1)z&=0\end{array}\right.


b) Discutimos el sistema anterior en función de a utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius. Las matrices de coeficientes y ampliada son:

B=\begin{pmatrix}a-1&0&-1\\-1&-1&0\\0&1&a-1\end{pmatrix}\qquad B^*=\begin{pmatrix}a-1&0&-1&0\\-1&-1&0&0\\0&1&a-1&0\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de B:

|B|=\begin{vmatrix}a-1&0&-1\\-1&-1&0\\0&1&a-1\end{vmatrix}=a-1+1=a

determinante que se anula para a=0.

  • Si a\neq0 rg(B)=3=rg(B*)=n y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=0 entonces B=\begin{pmatrix}-1&0&-1\\-1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&0\\-1&-1\end{vmatrix}=1\neq0.
    El rango de B* es 2 ya que el sistema es homogéneo y el sistema es compatible indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones para a=0.


c) Para a=0 tenemos A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}. Su determinante es |A|=1. Por lo tanto, sí tiene inversa.
El valor de la inversa es:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}=A\\\\A^{-1}=\dfrac11\cdot\begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{pmatrix}

Ast-MII-O-21-1B

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