Problema 1501

Sean las parábolas y_1=x^2-2x+3 e y_2=ax^2+b

a) Calcula los valores de a y b para que en el punto de abscisa x = 2 las dos parábolas tengan la misma recta tangente. Calcula dicha recta tangente.
b) Para a = 1, b = 1 esboza el recinto limitado por las parábolas entre el eje Y y el punto de corte entre ellas. Calcula el área del mismo.


Solución:

a) Para que las dos parábolas tengan la misma recta tangente en x=2 debe ocurrir que:

\bullet~y_1(2)=y_2(2)~;\text{ las dos funciones coinciden en ese punto}\\\bullet~y'_1(2)=y'_2(2)~;\text{ las dos funciones tienen la misma pendiente en ese punto}

Utilizamos la condición y_1(2)=y_2(2):

2^2-2\cdot2+3=a\cdot2^2+b~;\\\\3=4a+b

Calculamos las derivadas de las funciones:

\bullet~y'_1=2x-2\\\bullet~y'_2=2ax

Utilizamos la condición y'_1(2)=y'_2(2):

2\cdot2-2=2a\cdot2~;\\\\2=4a

Unimos las dos condiciones e un sistema y resolvemos:

\left\{\begin{array}{l}3=4a+b\\2=4a\end{array}\right.

Sistema cuya solución es \boxed{a=\frac12,~b=1}.

La ecuación de la recta tangente a y_1 en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=y'_1(x_0)(x-x_0)+y_1(x_0)}

Para x_0=2:

y=2(x-2)+3~;\\\\\boxed{y=2x-1}


b) Calculamos el punto de corte de ambas funciones:

x^2-2x+3=x^2+1~;\\\\-2x=-2~;\\\\x=1

El área encerrada por ambas parábolas y el eje y es el valor absoluto de:

\displaystyle\int_0^1(x^2-2x+3)-(x^2+1)~dx=\int_0^1-2x+2~dx=\\\\\indent=\left[\dfrac{-2x^2}2+2x\right]_0^1=\\\\\indent=\left(\dfrac{-2}2+2\right)-(0)=\boxed{1\text{ u.a.}}

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