Problema 1580

Calcula los valores del parámetro t para que se cumpla la condición |A^3|=8, siendo A la siguiente matriz:

A=\begin{pmatrix}t-1&t+1&3\\t^2-t&t^2+2t&t\\1-t&-1-t&-2\end{pmatrix}


Solución:

Según una de las propiedades de los determinantes, sabemos que |A^n|=|A|^n luego:

|A^3|=8~;\\\\|A|^3=8~;\\\\|A|=\sqrt[3]8~;\\\\|A|=2

Usando esas propiedades, calculamos el determinante de A:

|A|=\begin{vmatrix}t-1&t+1&3\\t^2-t&t^2+2t&t\\1-t&-1-t&-2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}t-1&t+1&3\\t(t-1)&t(t+2)&t\\-(t-1)&-(t+1)&-2\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.6}=(t-1)\begin{vmatrix}1&t+1&3\\t&t(t+2)&t\\-1&-(t+1)&-2\end{vmatrix}\overset{P.6}=t(t-1)\begin{vmatrix}1&t+1&3\\1&t+2&1\\-1&-(t+1)&-2\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.6}=-t(t-1)\begin{vmatrix}1&t+1&3\\1&t+2&1\\1&t+1&2\end{vmatrix}=-t(t-1)\begin{vmatrix}1&(t+1)+0&3\\1&(t+1)+1&1\\1&(t+1)+0&2\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.7}=-t(t-1)\begin{vmatrix}1&t+1&3\\1&t+1&1\\1&t+1&2\end{vmatrix}-t(t-1)\begin{vmatrix}1&0&3\\1&1&1\\1&0&2\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.6}=-t(t-1)(t+1)\begin{vmatrix}1&1&3\\1&1&1\\1&1&2\end{vmatrix}-t(t-1)\begin{vmatrix}1&0&3\\1&1&1\\1&0&2\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.1}=-t(t-1)(t+1)\cdot0-t(t-1)(2-3)~;\\\\|A|=t(t-1)

Dado que |A|=2, entonces:

t(t-1)=2~;\\\\t^2-t-2=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son \boxed{t=-1,~t=2}.

Nav-MII-O-21-P2

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