Problema 1581

Encuentra la ecuación general del plano \pi que es paralelo a las rectas

r:~\left\{\begin{array}{l}x+2y+z+3=0\\x+6y-z-7=0\end{array}\right.\qquad s:~\dfrac{x-3}3=\dfrac{y+2}3=\dfrac{z+2}1

y equidista de ambas.


Solución:

Escribimos la recta r en paramétricas haciendo y=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}x+z&=-3-2\lambda\\x-z&=7-6\lambda\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones obtenemos:

2x=4-8\lambda~;\\\\x=2-4\lambda

Sustituyendo en x+z=-3-2\lambda:

(2-4\lambda)+z=-3-2\lambda~;\\\\z=-5+2\lambda

Luego:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2-4\lambda\\y=\lambda\\z=-5+2\lambda\end{array}\right.

Escribimos un punto y el vector director de cada recta:

P_r=(2,0,-5),~\vec v_r=(-4,1,2)\\P_s=(3,-2,-2),~\vec v_s=(3,3,1)

Ahora podemos empezar el problema en sí. Nos piden un plano paralelo a ambas rectas luego el vector normal de dicho plano, \vec n, ha de ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas. Este vector lo conseguimos multiplicando vectorialmente ambos vectores directores:

\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-4&1&2\\3&3&1\end{vmatrix}=-5\vec\imath+10\vec\jmath-15\vec k=(-5,10,-15)

Simplificando (dividiendo entre -5) este vector tenemos \vec n=(1,-2,3).
Ahora calculamos el plano paralelo a ambas rectas que contenga a r. Dicho plano \alpha estará formado por \{P_r,\vec n\}. Será de la forma x-2y+3z+D=0. Imponiendo que pasa por el punto P_r=(2,0,-5):

2-2\cdot0+3\cdot(-5)+D=0~;\\2-15+D=0~;\\D=13

Luego \alpha es x-2y+3z+13=0.
De manera análoga calculamos un plano \beta paralela a ambas rectas que contenga a s. \beta=\{P_s,\vec n\}. \beta tiene la forma x-2y+3z+E=0. Imponemos que pase por el punto P_s=(3,-2,-2):

3-2\cdot(-2)+3\cdot(-2)+E=0~;\\3+4-6+E=0~;\\E=-1

El plano \beta es x-2y+3z-1=0.
El plano mediatriz de \alpha y \beta tiene la forma x-2y+3z+F=0 siendo:

F=\dfrac{D+E}2=\dfrac{13+(-1)}2=6

El plano paralelo a r y s que equidista de ambos es:

\boxed{x-2y+3z+6=0}

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