Problema 1582

Un lado de un paralelogramo está sobre la recta r:~\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}2. Otro lado lo determinan los puntos A(-1,-2,3) y B(2,-2,-1). Calcula los otros dos vértices del paralelogramo sabiendo que su perímetro mide 16 u.


Solución:

Hay cuatro tipos de paralelogramos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.
Calculamos el vector \overrightarrow{AB} y su módulo:

\overrightarrow{AB}=(2,-2,-1)-(-1,-2,3)=(3,0,-4)\\\\|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}=5

Utilizamos el dato del perímetro:

5+5+x+x=16~;\\\\2x=6~;\\\\x=3

Dos de los lados de nuestro paralelogramo mide 5 y los otros dos miden 3 u. Nuestro paralelogramo o es un rectángulo o es un romboide.

Observamos que el punto A pertenece a la recta:

\dfrac{-1-1}{-2}=\dfrac{-2+1}{-1}=\dfrac{3-1}2=1

pero no el punto B:

\dfrac{2-1}{-2}\neq\dfrac{-2+1}{-1}

Luego, podemos escribir la recta como:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=-1-2\lambda\\y=-2-\lambda\\z=3+2\lambda\end{array}\right.

Escribimos el vértice C que acompaña a A en la recta r en la forma C=(-1-2\lambda,-2-\lambda,3+2\lambda).
Sabemos que la distancia entre ambos puntos es 3 u:

d(A,C)=\sqrt{(-1-2\lambda-(-1))^2+(-2-\lambda-(-2))^2+(3+2\lambda)-3)^2}=\\\\=\sqrt{4\lambda^2+\lambda^2+4\lambda^2}=3\lambda=3~;\\\\\lambda=1

Sustituimos este valor \lambda=1 y obtenemos:

\boxed{C=(-3,-3,5)}

Por último, dado que \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD} entonces:

\overrightarrow{AC}=(-3,-3,5)-(-1,-2,3)=(-2,-1,2)=\overrightarrow{BD}~;\\\\\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}~;\\\\\overrightarrow{OD}=(-2,-1,2)+(2,-2,-1)=(0,-3,1)

Es decir, \boxed{D=(0,-3,1)}.

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