Problema 1583

Sea la función f(x)=(x^2-3x+10)^{\log[2^{x-1}\cdot\text{sen}\frac{\pi(x+2)}6]}.

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [1,3].
b) Demuestra que existe \alpha\in(1,3) tal que f(\alpha)=\frac32. Enuncia los resultados teóricos utilizados, y justifica su uso.


Solución:

a) Esta función se compone de varios tipos de funciones. La más restrictiva es el logaritmo que está definida para valores mayores que 0, por eso hemos de ver dónde se anula las funciones afectadas por el logaritmo:

  • La función y=\text{sen}\frac{\pi(x+2)}6 se anula en:
    \text{sen}\frac{\pi(x+2)}6=0~;\\\frac{\pi(x+2)}6=k\pi~;\\x+2=6k~;\\x=6k-2
    Con k\in\mathbb Z. Para k=0 tenemos x=-2 y con k=1 tenemos x=4, luego, y no se anula en el intervalo [1,3] donde es continua.
    Además, esta función es positiva en dicho intervalo ya que y(2)=\text{sen}\frac{2\pi}3>0.
  • La función y=2^{x-1} es continua y mayor que 0 para todo \mathbb R, en particular para [1,3].

Luego, la función y=\log[2^{x-1}\cdot\text{sen}\frac{\pi(x+2)}6] está definida y es continua en [1,3].
Por otro lado, la base y=x^2-3x+10 es una función polinómica que es continua en [1,3], luego, dado que la base y el exponente son continuas en [1,3], la función f también lo es.


b) Usando el teorema de los valores intermedios, dado que f es continua en [1,3] y dado que:

\bullet~f(1)=(1^2-3+10)^{\log[2^{1-1}\cdot\text{sen}\frac{\pi(1+2)}6]}=8^{\log[1\cdot1]}=8^0=1\\\\\bullet~f(3)=(3^2-9+10)^{\log[2^{3-1}\cdot\text{sen}\frac{\pi(3+2)}6]}=10^{\log[4\cdot\frac12}]=2

entonces podemos asegurar que existe \alpha\in(1,3) tal que f(\alpha)=\frac32.

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