Problema 1630

En una fiesta familiar se han reunido a 20 personas. Si contamos el total de hombres y mujeres juntos, observamos que existe el triple que de niños. Además, sabemos que, si hubiera asistido una de más, el número de mujeres habría sido igual que el número de hombres.

a) Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos hombres, cuántas mujeres y cuántos niños asistieron a la fiesta.
b) Resuelva el sistema del apartado anterior e interprete su resultado.


Solución:

a) Sea x, y, z el número de hombre, mujeres y niños respectivamente. Hay el triple de niños que de hombres y mujeres juntos:

z=3(x+y)

En total hay 20 personas:

x+y+z=20

Si hubiera venido una mujer más, su número sería igual que el de hombres:

y+1=x

Con todos estos resultados tenemos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{rl}3x+3y-z&=0\\x+y+z&=20\\x-y&=1\end{array}\right.


b) Escribimos el sistema en forma matricial:

\begin{pmatrix}3&3&-1\\1&1&1\\1&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\20\\1\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}3&3&-1\\1&1&1\\1&-1&0\end{vmatrix}=3+1+1+3=8

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}0&3&-1\\20&1&1\\1&-1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&3&-1\\1&1&1\\1&-1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{3+20+1}8=3\\\\y=\dfrac{\begin{vmatrix}3&0&-1\\1&20&1\\1&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&3&-1\\1&1&1\\1&-1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{-1+20-3}8=2\\\\y=\dfrac{\begin{vmatrix}3&3&0\\1&1&20\\1&-1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&3&-1\\1&1&1\\1&-1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{3+60-3+60}8=15

En la fiesta se han reunido 3 hombres, 2 mujeres y 15 niños.

Cat-MCCSS-O-21-3A

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