Problema 1631

Un granjero quiere construir un corral rectangular para sus conejos. Sabemos que sólo dispone de 40 m lineales de cierre metálico.

a) Llamamos x la anchura del corral e y su longitud. Escriba la función que permite calcular el área del corral teniendo en cuenta sólo la anchura x.
b) Calcule en qué punto alcanza su máximo la función que ha encontrado en el apartado anterior. Deduzca cuál debe ser la anchura x y cuál la longitud y para que el corral tenga área máxima. ¿Cuál será esa área máxima?


Solución:

a) Sea el recinto rectangular de dimensiones x\times y:

El área del corral es A(x,y)=x\cdot y. Dado que el perímetro es 40:

2x+2y=40

de donde tenemos y=20-x, entonces el área del corral teniendo en cuenta sólo la anchura x es:

A(x)=x\cdot(20-x)~;\\\\\boxed{A(x)=20x-x^2}


b) Para maximizar la función área comenzamos calculando sus puntos críticos:

A'(x)=20-2x=0~;\\\\x=10

Caracterizamos este punto crítico utilizando test de la derivada segunda:

A''(x)=-2~;\\\\A''(10)=-2<0

Según el test la función área alcanza un máximo en x=10. Para este valor de x tenemos:

y=20-10=10

Las dimensiones del corral para maximizar el área es de 10\times10 m. El área en este caso es de 100 m².

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