Problema 1632

Considere la matriz A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.

a) Encuentre la expresión general de A^n. Demostrar que la inversa de A^n es \begin{pmatrix}1&-n\\0&1\end{pmatrix}.
b) Encuentre la matriz X que satisface la ecuación matricial A^{10}\cdot X-A^{20}=A.


Solución:

a) Calculamos la potencia enésima de A por recurrencia:

A^2=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\\\\A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}

Observamos que la potencia enésima de A podría ser por recurrencia A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix} por lo que A^{n+1} tendría que ser \begin{pmatrix}1&n+1\\0&1\end{pmatrix}. En efecto:

A^{n+1}=A^nA=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1+n\\0&1\end{pmatrix}

Tenemos que A^{n}=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}. Calculamos ahora su inversa con la fórmula general:

M^{-1}=\dfrac1{|M|}(\text{Adj}M)^t

aplicada a nuestra matriz A^n:

|A^n|=\begin{vmatrix}1&n\\0&1\end{vmatrix}=1\\\\\text{Adj}A^n=\begin{pmatrix}1&0\\-n&1\end{pmatrix}\\\\(A^n)^{-1}=\dfrac11\cdot\begin{pmatrix}1&0\\-n&1\end{pmatrix}^t~;\\\\(A^n)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-n\\0&1\end{pmatrix}\qquad\text{c.q.d.}


b) Despejamos la matriz X:

A^{10}\cdot X-A^{20}=A~;\\\\A^{10}\cdot X=A+A^{20}~;\\\\X=(A^{10})^{-1}(A+A^{20})

Según el apartado anterior tenemos que:

A^{20}=\begin{pmatrix}1&20\\0&1\end{pmatrix}\\\\(A^{10})^{-1}=\begin{pmatrix}1&-10\\0&1\end{pmatrix}

Luego:

X=\begin{pmatrix}1&-10\\0&1\end{pmatrix}\left(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&20\\0&1\end{pmatrix}\right)~;\\\\X=\begin{pmatrix}1&-10\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&21\\0&1\end{pmatrix}~;\\\\\boxed{X=\begin{pmatrix}1&11\\0&1\end{pmatrix}}

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