Problema 1719

Los salarios de la madre, el padre y la hija ascienden a 5850 euros mensuales. Sabiendo que el salario del padre es igual a la suma del salario de la hija más la mitad del salario de la madre y que la madre gana el triple que su hija. Se pide:

a) Plantea un sistema de tres ecuaciones donde las incógnitas sean lo que cobra cada miembro de la familia.
b) Resuelve el sistema anterior utilizando el método de Gauss o la regla de Cramer para averiguar cuánto cobra cada miembro de la familia.


Solución:

a) Sean x, y, z los salarios de la madre, el padre y la hija respectivamente.
Entre los tres suman 5850 euros:

x+y+z=5850

El salario del padre es igual a la suma del salario de la hija más la mitad del salario de la madre:

y=z+\dfrac12x\qquad\rightarrow\qquad x-2y-2z=0

La madre gana el triple que su hija:

x=3z\qquad\rightarrow\qquad x-3z=0

Así tenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=5850\\x-2y+2z&=0\\x-3z&=0\end{array}\right.


b) El sistema en forma matricial sería (AX=B):

\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-2&2\\1&0&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5850\\0\\0\end{pmatrix}

El determinante de la matriz de coeficientes es:

|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&2\\1&0&-3\end{vmatrix}=6+2+2+3=13

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}5850&1&1\\0&-2&2\\0&0&-3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&2\\1&0&-3\end{vmatrix}}=\dfrac{35100}{13}=2700\\\\y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&5850&1\\1&0&2\\1&0&-3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&2\\1&0&-3\end{vmatrix}}=\dfrac{11700+17550}{13}=2250\\\\z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&5850\\1&-2&0\\1&0&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&2\\1&0&-3\end{vmatrix}}=\dfrac{11700}{13}=900

La madre cobra 2700 euros, el padre 2250 euros y la hija 900 euros.

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