Problema 1720

Se desea vallar un terreno rectangular usando 100 metros de una tela metálica. Se ha decidido dejar una abertura de 20 metros sin vallar en uno de los lados de la parcela para colocar una puerta. Calcular las dimensiones de todos los lados de la parcela rectangular de área máxima que puede vallarse de esa manera. Calcular el valor de dicha área máxima.


Solución:

Tenemos que el perímetro rectangular es 2x+y+(y-20) que hace un total de 100 m:

2x+2y-20=100~;\\\\2x+2y=120~;\\\\x+y=60\qquad(1)

El área A de dicho terreno es A=x\cdot y.
De (1) sabemos que y=60-x; sustituyendo en el área:

A=x\cdot y~;\\\\A(x)=x\cdot(60-x)~;\\\\A(x)=60x-x^2

Para optimizar el área primero calculamos sus puntos críticos:

A'(x)=60-2x~;\\\\60-2x=0~;\\\\x=30

Utilizamos el test de la derivada segunda para caracterizar este punto crítico:

A''(x)=-2~;\\\\A''(30)=-2<0

Para x=30 m el área es máxima. Por último determinamos la anchura del terreno:

y=60-x~;\\\\y=60-30=30

El terreno de área máxima es un cuadrado de lado 30 m. Su área es 900~m^2.

Can-MII-O-19-1A

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