Problema 1721

Dadas las matrices: A=\begin{pmatrix}x&1\\1&x+1\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix} y sea I la matriz identidad de orden 2

a) Calcular el valor de x de modo que se verifique la igualdad: B^2=A
b) Calcular el valor de x para que A-I_2=B^{-1}
c) Calcular el valor de x para que AB=I_2


Solución:

a) Calculamos:

B^2=BB=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}

Igualamos a A:

B^2=A~;\\\\\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&1\\1&x+1\end{pmatrix}

Obtenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{l}1=x\\1=1\\1=1\\2=x+1\end{array}\right.

Sistema cuya solución es x=1.


b) Calculamos la matriz inversa de B con la fórmula:

\boxed{B^{-1}=\dfrac1{|B|}\cdot(\text{Adj}B)^t}

|B|=\begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix}=-1\\\\\text{Adj}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&0\end{pmatrix}\\\\B^{-1}=\dfrac1{-1}\cdot\begin{pmatrix}1&-1\\-1&0\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}

Por otro lado tenemos que A-I_2 es:

A-I_2=\begin{pmatrix}x&1\\1&x+1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-1&1\\1&x\end{pmatrix}

Igualando obtenemos el sistema:

A-I_2=B^{-1}~;\\\\\begin{pmatrix}x-1&1\\1&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}

\left\{\begin{array}{l}x-1=-1\\1=1\\1=1\\x=0\end{array}\right.

Sistema cuya solución es x=0.


c) Dado que AB=I y que B^{-1}B=I entonces se cumple que A=B^{-1}, es decir:

\begin{pmatrix}x&1\\1&x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}

Tenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{l}x=-1\\1=1\\1=1\\x+1=0\end{array}\right.

Sistema cuya solución es x=-1.

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