Problema 1740

a) Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos (0, 0), (a, 0), (0, b) y (a, b), donde a > 0 y b > 0 y además el punto (a, b), está situado en la curva de ecuación:

y=\dfrac1{x^2}+9

De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área mínima y calcule dicha área mínima.

b) Determine:

\displaystyle\int\dfrac1{9-x^2}~dx

c) Determine el valor de la constante k para que se verifique que:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^3+x^2+kx+3}{x^3-x^2-x+1}=2


Solución:

a) La función y(x)=\dfrac1{x^2}+9 se parece gráficamente a una hipérbola (y=\frac1x). Decreciente en el intervalo (0,+\infty) y con asíntota horizontal de ecuación y=9 y vertical x=0. Además, es una función de simetría par:

El área S del rectángulo es:

S=a\cdot b

donde b=y(a), luego:

y(a)=\dfrac1{a^2}+9

y el área resulta:

S(a)=a\cdot\left(\dfrac1{a^2}+9\right)=\dfrac1a+9a

Calculamos sus puntos críticos:

S'(a)=\dfrac{-1}{a^2}+9~;\\\\\dfrac{-1}{a^2}+9=0~;\\\\9a^2=1~;\\\\a=\pm\dfrac13

Descartamos el resultado negativo ya que a>0. Utilizamos el test de la derivada segunda para caracterizar el punto crítico:

S''(a)=\dfrac{2a}{a^4}=\dfrac2{a^3}~;\\\\S''(\frac13)=\dfrac2{(\frac13)^3}>0

Luego, para a=\frac13 el área S es mínima y su valor es:

S(\frac13)=\dfrac1{(\frac13)}+9\cdot\frac13=6\text{ u.a.}


b) Se trata de una integral racional. Dado que el denominador tiene dos raíces reales simples x=\pm3 podemos escribir:

\dfrac1{9-x^2}=\dfrac A{3-x}+\dfrac B{3+x}=\dfrac{A(3+x)+B(3-x)}{(3-x)(3+x)}

de donde 1=A(3+x)+B(3-x):

  • Si x=-3:
    1=6B~;\\B=\frac16
  • Si x=3:
    1=6A~;\\A=\frac16

Luego:

\displaystyle\int\dfrac1{9-x^2}~dx=\int\dfrac{1/6}{3-x}~dx+\int\dfrac{1/6}{3+x}~dx=\\\\=-\dfrac16\ln|3-x|+\dfrac16\ln|3+x|+k=\boxed{\dfrac16\ln\left|\dfrac{3+x}{3-x}\right|+k}


c) Comenzamos calculando el límite:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^3+x^2+kx+3}{x^3-x^2-x+1}=\dfrac{1^3+1^2+k+3}{1^3-1^2-1+1}=\dfrac{k+5}0

Para que este límite no diverja, debe ser:

k+5=0~;\\k=-5

Comprobamos que siendo k=-5 el valor del límite es 2:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^3+x^2-5x+3}{x^3-x^2-x+1}=\dfrac00

Factorizando numerador y denominador:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{(x-1)(x^2+2x-3)}{(x-1)(x^2-1)}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+2x-3}{x^2-1}=\dfrac00

Volvemos a factorizar numerador y denominador:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x+3}{x+1}=\dfrac42=2\qquad\text{c.q.d.}

Ara-MII-O-19-3A

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