Problema 1744

Considere la función:

f(x)=\dfrac{x-1}{(x+1)^2}

a) Determine las asíntotas de la función, si existen.
b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función, si existen.
c) Determine la integral \int_1^3f(x)~dx.


Solución:

a) El dominio de f es \mathbb R\setminus\{-1\}:

  • Asíntota vertical:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{x-1}{(x+1)^2}=\dfrac{-2}{0^+}=-\infty\\\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{x-1}{(x+1)^2}=\dfrac{-2}{0^+}=-\infty
    La asíntota vertical tiene ecuación x=-1.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x-1}{(x+1)^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x-1}{x^2+2x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac x{x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac1x=0
    f tiene asíntota horizontal de ecuación y=0.

b) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{(x+1)^2-(x-1)\cdot2\cdot(x+1)}{(x+1)^4}=\dfrac{x+1-2(x-1)}{(x+1)^3}=0~;\\\\\dfrac{-x+3}{(x+1)^3}=0~;\\\\x=3

Teniendo el dominio de f y el punto crítico, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,3)&(3,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(-1,3)
  • f decrece en x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)

c) Tenemos una integral racional donde el denominador tiene raíces reales múltiples. Descomponemos la función en facciones simples:

\dfrac{x-1}{(x+1)^2}=\dfrac A{x+1}+\dfrac B{(x+1)^2}=\dfrac{A(x+1)+B}{(x+1)^2}

de donde:

x-1=A(x+1)+B

  • Si x=-1:
    -1-1=B~;\\B=-2
  • Si x=0:
    0-1=A+B~;\\A=-1+2~;\\A=1

Luego:

\displaystyle\int_1^3\dfrac{x-1}{(x+1)^2}=\int_1^3\dfrac1{x+1}+\dfrac{-2}{(x+1)^2}~dx=\\\\=\left[\ln|x+1|+\dfrac{-2(x+1)^{-1}}{-1}\right]_1^3=\\\\=\left[\ln|x+1|+\dfrac 2{x+1}\right]_1^3=\\\\=\left(\ln4+\dfrac24\right)-\left(\ln2+\dfrac22\right)=\\\\=2\ln2+\dfrac12-\ln2-1=\boxed{\ln2-\dfrac12}

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