Problema 1745

La probabilidad de que una persona escriba un mensaje de Twitter sin faltas de ortografía es 0,75. Se sabe además que una persona escribe a lo largo del día 20 mensajes de Twitter.
A partir de esta información, responde a las siguientes cuestiones. NO es necesario finalizar los cálculos en ninguna de ellas, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los mensajes escritos en un día, es decir 10, no tengan faltas de ortografía?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún mensaje de los 20 escritos en un día tenga faltas de ortografía?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que 18 o más mensajes de los 20 escritos en un día sí tengan faltas de ortografía?


Solución:

Se trata de un problema de distribución binomial donde la probabilidad de escribir correctamente un mensaje es p=0.75. La probabilidad de que de n mensajes haya k escritos correctamente es:

P[x=k]=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}

a) La probabilidad de escribir k=10 mensajes correctamente es:

P[x=10]=\begin{pmatrix}20\\10\end{pmatrix}\cdot0.75^{10}\cdot(1-0.75)^{20-10}=\\\\=184756\cdot0.56\cdot9.53\cdot10^{-7}=\boxed{0.0099}


b) La probabilidad de que todos los mensajes sean escritos sin faltas es:

P[x=20]=\begin{pmatrix}20\\20\end{pmatrix}\cdot0.75^{20}\cdot(1-0.75)^{20-20}=\\\\=1\cdot3.17\cdot10^{-3}\cdot1=\boxed{0.00317}


c) La probabilidad de que un mensaje sí tenga faltas de ortografía es:

q=1-p=0.25

La probabilidad de que un mensaje de los 20 tenga 18, 19 o 20 faltas es:

\bullet~P[x=18]=\begin{pmatrix}20\\18\end{pmatrix}\cdot0.25^{18}\cdot(1-0.25)^{20-18}=1.55\cdot10^{-9}\\\\\bullet~P[x=19]=\begin{pmatrix}20\\19\end{pmatrix}\cdot0.25^{19}\cdot(1-0.25)^{20-19}=5.46\cdot10^{-11}\\\\\bullet~P[x=20]=\begin{pmatrix}20\\20\end{pmatrix}\cdot0.25^{20}\cdot(1-0.25)^{20-20}=9.09\cdot10^{-13}

y la probabilidad de tener 18 o más faltas es:

P[x\geq18]=P[x=18]+P[x=19]+P[x=20]=\boxed{1.6\cdot10^{-9}}

Ara-MII-O-19-4B

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