Problema 1746

Considere el sistema \begin{pmatrix}t&1&1\\t&-1&1\\t&0&t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} dependiente del parámetro t.

a) Clasifique, en función del valor de t, el tipo de sistema.
b) Calcule todas las soluciones del sistema en el caso t=1.


Solución:

a) Este sistema es homogéneo por lo que el rango de la matriz de coeficientes M es igual al rango de la matriz ampliada M* para todo t. El sistema siempre es compatible.
Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes M (recordar las propiedades de los determinantes):

|M|=\begin{vmatrix}t&1&1\\t&-1&1\\t&0&t\end{vmatrix}=t\cdot\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&0&t\end{vmatrix}=t(-t+1+1-t)=2t(-t+1)

Determinante que se anula para t=0 y t=1.

  • Si t\neq0\text{ y }t\neq1 el rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si t=0 entonces M=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&-1&1\\0&0&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=2\neq0. El sistema es compatible indeterminado.
  • Si t=1 entonces M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&0&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq0 y el sistema es compatible indeterminado.

b) En el caso t=1 tenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=0\\x-y+z&=0\\x+z&=0\end{array}\right.

que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x-y+z&=0\\x+z&=0\end{array}\right.

Parametrizamos z=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}x-y&=-\lambda\\x&=-\lambda\end{array}\right.

La solución del sistema es (x,y,z)=(-\lambda,0,\lambda) con \lambda\in\mathbb R.

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