Problema 1747

Considere la función f(x)=(x+10)e^{2x}.

a) Calcule una primitiva F(x) tal que F(0)=0. Use la derivada para comprobar su solución.
b) Calcule \int_0^5f(x)~dx.


Solución:

a) Utilizamos el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=x+10&\rightarrow&du=1~dx\\\\dv=e^{2x}~dx&\rightarrow&v=\dfrac12\cdot e^{2x}\end{array}

Luego:

\displaystyle F(x)=\int(x+10)e^{2x}~dx=(x+10)\cdot\dfrac12\cdot e^{2x}-\int\dfrac12\cdot e^{2x}~dx

La integral resultante es inmediata:

F(x)=\dfrac{(x+10)e^{2x}}2-\dfrac14\cdot e^{2x}+k~;\\\\F(x)=\dfrac{2(x+10)-1}4\cdot e^{2x}+k

Imponemos F(0)=0.

F(0)=\dfrac{2(0+10)-1}4\cdot e^0+k=0~;\\\\\dfrac{19}4\cdot1+k=0~;\\\\k=\dfrac{-19}4

Luego:

\boxed{F(x)=\dfrac{2(x+10)-1}4\cdot e^{2x}-\dfrac{19}4}

La derivada de esta función es:

F'(x)=\dfrac24\cdot e^{2x}+\dfrac{2(x+10)-1}4\cdot e^{2x}\cdot2=\\\\=\left(\dfrac12+\dfrac{2(x+10)-1}2\right)\cdot e^{2x}=\\\\=(x+10)e^{2x}=f(x)


b) Según la regla de Barrow:

\displaystyle\int_a^b f(x)~dx=F(b)-F(a)

luego:

\displaystyle\int_0^5(x+10)e^{2x}~dx=F(5)-F(0)=\\\\=\left(\dfrac{2(5+10)-1}4\cdot e^{2\cdot5}-\dfrac{19}4\right)-(0)=\dfrac{29}4\cdot e^{10}-\dfrac{19}4=\\\\=\boxed{\dfrac{29e^{10}-19}4}

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