Problema 1748

Tomemos el plano \pi:~2x+ay+z=2 y la recta r(t):~(0,0,0)+t(2,1,1).

a) Determine a para que r y \pi sean ortogonales.
b) Determine a para que r y \pi sean paralelos. Calcule la distancia entre r\pi en este caso.


Solución:

a) Para que r y \pi sean ortogonales el vector director de r y el vector normal de \pi han de ser paralelos (\vec v_r\parallel\vec n) donde \vec v_r=(2,1,1) y \vec n=(2,a,1). Aplicamos la condición de paralelismo a ambos vectores:

\dfrac22=\dfrac1a=\dfrac11

condición que se cumple para a=1.


b) Para que r y \pi sean paralelos los vectores \vec v_r y \vec n han de ser perpendiculares. Aplicamos la condición de perpendicularidad  a ambos vectores:

\vec v_r\cdot\vec n=2\cdot2+1\cdot a+1\cdot1=0~;\\\\4+a+1=0~;\\\\a=-5

Para a=-5 la recta y el plano son paralelos. El plano tiene ecuación \pi:~2x-5y+z-2=0. Entre la recta y el plano hay una distancia:

d(r,\pi)=d(P_r,\pi)

donde P_r=(0,0,0) es un punto cualquiera de la recta. Recordando la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

d(r,\pi)=d(P_r,\pi)=\dfrac{|2\cdot0-5\cdot0+0-2|}{\sqrt{2^2+(-5)^2+1^2}}=\boxed{\dfrac{2}{\sqrt{30}}\text{ u.l.}}

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