Problema 1749

Una prueba rápida para detectar una enfermedad da un 2% de falsos positivos (personas sanas en las que la prueba da positivo, clasificándolas como enfermas) y un 1% de falsos negativos (personas enfermas en las que la prueba da negativo, clasificándolas como sanas). En una población hay un 4% de enfermos.

a) Calcule la probabilidad de que el test dé un resultado negativo.
b) La prueba da un resultado positivo (clasificando a la persona como enferma). Calcule la probabilidad de que realmente esté sana.


Solución:

Sea C el suceso “ser una persona enferma”, sea A el suceso “test da positivo” y sea B el suceso “test da negativo”. Conocemos las siguientes probabilidades:

\bullet~P[C]=0.04\\\bullet~P[A/\overline C]=0.02\\\bullet~P[B/C]=0.01

Podemos completar el siguiente diagrama de árbol:

a) Nos piden la probabilidad total P[B]:

P[B]=P[C]\cdot P[B/C]+P[\overline C]\cdot P[B/\overline C]=\\\\=P[C]\cdot P[B/C]+(1-P[C])\cdot (1-P[A/\overline C])=\\\\=0.04\cdot0.01+0.96\cdot0.98=\boxed{0.9412}


b) Nos piden la probabilidad condicionada P[\overline C/A]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[\overline C/A]=\dfrac{P[\overline C]\cdot P[A/\overline C]}{P[A]}=\\\\=\dfrac{0.96\cdot0.02}{1-P[B]}=\dfrac{0.0192}{0.0588}=\boxed{0.3265}

Deja un comentario