Problema 1750

Sean M=\begin{pmatrix}-1&1&0\\-3&2&1\\-1&0&2\end{pmatrix},~v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.

a) Calcule, razonadamente, el rango de M.
b) Determine todos los vectores v tales que M^2\cdot v=M^{-1}\cdot v.


Solución:

a) Calculamos el determinante de esta matriz cuadrada de orden 3:

M=\begin{pmatrix}-1&1&0\\-3&2&1\\-1&0&2\end{pmatrix}=-4-1+6=1

Como su determinante es distinto de 0 su rango es 3.


b) Calculamos la matriz M^2:

M^2=\begin{pmatrix}-1&1&0\\-3&2&1\\-1&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1&0\\-3&2&1\\-1&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1&1\\-4&1&4\\-1&-1&4\end{pmatrix}

Y la matriz M^{-1} con la fórmula:

M^{-1}=\dfrac1{|M|}\cdot(\text{Adj}M)^t

\text{Adj}M=\begin{pmatrix}4&5&2\\-2&-2&-1\\1&1&1\end{pmatrix}\\\\M^{-1}=\dfrac11\cdot\begin{pmatrix}4&5&2\\-2&-2&-1\\1&1&1\end{pmatrix}^t\\\\M^{-1}=\begin{pmatrix}4&-2&1\\5&-2&1\\2&-1&1\end{pmatrix}

Dado que M^2\cdot v=M^{-1}\cdot v podemos escribir:

(M^2-M^{-1})\cdot v=\overline0

donde \overline 0 es el vector nulo y:

M^2-M^{-1}=\begin{pmatrix}-6&3&0\\-9&3&3\\-3&0&3\end{pmatrix}

Sustituyendo (M^2-M^{-1})\cdot v=\overline0 tenemos el sistema homogéneo:

\begin{pmatrix}-6&3&0\\-9&3&3\\-3&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

El determinante de la matriz de coeficientes es:

\begin{vmatrix}-6&3&0\\-9&3&3\\-3&0&3\end{vmatrix}=-54-27+81=0

El rango no es 3. Veamos si es 2:

\begin{vmatrix}3&0\\3&3\end{vmatrix}=9\neq0

Luego el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el sistema es compatible indeterminado. El sistema es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}-6x+3y&=0\\-9x+3y+3z&=0\end{array}\right.

Parametrizamos x=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}3y=6\lambda\\3y+3z&=9\lambda\end{array}\right.

Sistema cuya solución es:

v=\begin{pmatrix}\lambda\\2\lambda\\\lambda\end{pmatrix}

con \lambda\in\mathbb R.

Can-MII-O-19-1B

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