Problema 1751

Sea la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\text{sen}(x)}{2x}&\text{si}&x<0\\\\\dfrac{a-x^2}{2+x}&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Determine, si existe, el valor de a que haga a la función continua en x=0.
b) Calcule el valor de a para que f tenga un extremo relativo en x=2. ¿Es este extremo un máximo o mínimo local?
c) Sea g(x) una función integrable, si \int_0^3g(x)~dx=4 y \int_2^3g(x)~dx=6. ¿Cuánto vale \int_0^2g(x)~dx?


Solución:

a) Estudiamos la continuidad de f en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{a-x^2}{2+x}=\dfrac a2\\\\\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\text{sen}(x)}{2x}=\dfrac00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\cos(x)}2=\dfrac12\\\\\bullet~f(0)=\dfrac{a-0^2}{2+0}=\dfrac a2

donde hemos aplicado la regla de L’Hôpital para resolver la indeterminación \frac00.
Para que f sea continua en x=0 debe ser:

\dfrac a2=\dfrac12

de donde a=1.


b) Para que f presente un punto crítico en x=2 debe ser f'(2)=0. Dado que:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\cos(x)\cdot2x-\text{sen}(x)\cdot2}{(2x)^2}&\text{si}&x<0\\\\\dfrac{-2x\cdot(2+x)-(a-x^2)\cdot1}{(2+x)^2}&\text{si}&x>0\end{array}\right.

La segunda función parcial la podemos simplificar:

\dfrac{-2x\cdot(2+x)-(a-x^2)\cdot1}{(2+x)^2}=\dfrac{-4x-2x^2-a+x^2}{(2+x)^2}=\dfrac{-x^2-4x-a}{(2+x)^2}

Entonces:

f'(2)=\dfrac{-2^2-4\cdot2-a}{(2+2)^2}=\dfrac{-a-12}{16}=0~;\\\\-a-12=0~;\\\\a=-12

En el entorno de x=2 tenemos que f'(x)=\dfrac{-x^2-4x+12}{(2+x)^2}. Para caracterizar este punto crítico estudiamos la monotonía de f en el entorno de x=2 sabiendo que f es continua y derivable para x>0:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\text{Signo }f'(x)&+&-\\\hline\text{Monoton\'ia }f(x)&\text{Crece}&\text{Decrece}\\\hline\end{array}

Observamos que para a=-12 la función f alcanza un máximo en x=2.


c) Dado que:

\displaystyle\int_0^2g(x)~dx+\int_2^3g(x)~dx=\int_0^3g(x)~dx

entonces:

\displaystyle\int_0^2g(x)~dx=\int_0^3g(x)~dx-\int_2^3g(x)~dx~;\\\\\displaystyle\int_0^2g(x)~dx=4-6=\boxed{-2}

Deja un comentario