Problema 1754

Discute en función del parámetro a\in\mathbb R el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}3x+2y+az&=1\\ax+y-z&=2\\5x+3y+z&=2a\end{array}\right.


Solución:

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}3&2&a\\a&1&-1\\5&3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2a\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

|M|=\begin{vmatrix}3&2&a\\a&1&-1\\5&3&1\end{vmatrix}=3-10+3a^2-5a-2a+9=0~;\\\\3a^2-7a+2=0~;a=2,~a=\frac13

  • Si a\neq2\text{ y }a\neq\frac13 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=2 entonces M=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&1&-1\\5&3&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}3&2\\2&1\end{vmatrix}=-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}3&2&2&1\\2&1&-1&2\\5&3&1&4\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}3&2&1\\2&1&2\\5&3&4\end{vmatrix}=12+20+6-5-16-18=-1\neq0
    Por tanto rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.
  • Si a=\frac13 entonces M=\begin{pmatrix}3&2&\frac13\\\frac13&1&-1\\5&3&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\3&1\end{vmatrix}=4\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M=\begin{pmatrix}3&2&\frac13&1\\\frac13&1&-1&2\\5&3&1&\frac23\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}2&\frac13&1\\1&-1&2\\3&1&\frac23\end{vmatrix}=\frac{-4}3+2+1+3-\frac29-4=2-\frac{14}9\neq0
    Por tanto rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.

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