Problema 1764

Dado el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{rl}mx+y-z&=0\\2x+my&=m\\x+mz&=m\end{array}\right.\qquad m\in\mathbb R

a) Estudia y clasifica el sistema según los valores de m.
b) Resuélvelo, si es posible, para el caso m = 1.
c) Para qué valores de m se tiene la solución x=0, y=1, z=1.


Solución:

a) Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}m&1&-1\\2&m&0\\1&0&m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\m\\m\end{pmatrix}

Discutimos el sistema utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes M:

|M|=\begin{vmatrix}m&1&-1\\2&m&0\\1&0&m\end{vmatrix}=m^3+m-2m=m^3-m=m(m^2-1)=\\\\=m(m+1)(m-1)

Determinante que se anula para m=0, m=-1, m=1.

  • Si m\neq0\text{ y }m\neq-1\text{ y }m\neq1 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=0 entonces M=\begin{pmatrix}0&1&-1\\2&0&0\\1&0&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}0&1\\2&0\end{vmatrix}=-2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}0&1&-1&0\\2&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix} cuyo rango también es 2 ya que añade una columna de ceros respecto de M. El sistema es en este caso compatible indeterminado.
  • Si m=-1 entonces M=\begin{pmatrix}-1&1&-1\\2&-1&0\\1&0&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\-1&0\end{vmatrix}=-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}-1&1&-1&0\\2&-1&0&-1\\1&0&-1&-1\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&-1&0\\-1&0&-1\\0&-1&-1\end{vmatrix}=1-1=0
    El rango de la matriz ampliada también es 2 luego el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=1 entonces M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&0&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&0\\2&1&0&1\\1&0&1&1\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=1-1=0
    El rango de la matriz ampliada también es 2 luego el sistema es compatible indeterminado.

En resumen: para m=0 o m=1 o m=-1 el sistema es compatible indeterminado, para el resto de valores de m el sistema es compatible determinado.


b) Para m=1 el sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=0\\2x+y&=1\\x+z&=1\end{array}\right.

Sistema que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=0\\2x+y&=1\end{array}\right.

Para resolverlo parametrizamos x=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}y-z&=-\lambda\\y&=1-2\lambda\end{array}\right.

Dado que y=1-2\lambda tenemos que z es:

1-2\lambda-z=-\lambda~;\\\\z=1-\lambda

La solución es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=1-2\lambda\\z=1-\lambda\end{array}\right.

con \lambda\in\mathbb R.


c) Si la solución es x=0, y=1, z=1 entonces, sustituyendo en el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}1-1&=0\\m&=m\\m&=m\end{array}\right.

Sistema que se puede reducir a m=m cuya solución es \mathbb R.

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