Problema 1775

Sea a un parámetro real cualquiera. Considere la matriz:

A=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{pmatrix}

a) Determina para qué valores del parámetro a existe la inversa de la matriz A.


Sea el sistema de ecuaciones

A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

b) Discute el sistema de ecuaciones para los distintos valores del parámetro a.
c) Resuelve el sistema de ecuaciones cuando sea compatible.


Solución:

a) Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0:

|A|=\begin{vmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{vmatrix}=a+a+a-a^3-1-1=-a^3+3a-2=0

Ecuación de tercer grado cuyas soluciones son a=-2 y a=1. Se puede obtener las soluciones utilizando la regla de Ruffini.
Luego A tiene inversa si a\neq-2 y a\neq1.


b) Tenemos el sistema:

\begin{pmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

Para discutirlo utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Sabemos que el determinante de la matriz de coeficientes se anula para a=-2 o a=1, luego:

  • Si a\neq-2 y a\neq1 tenemos que rg(A)=rg(A*)=n y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=-2 tenemos la matriz de coeficientes A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=-3\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada A^*=\begin{pmatrix}1&1&-2&1\\1&-2&1&1\\-2&1&1&1\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&1\\-2&1&1\end{vmatrix}-2-2+1-4-1-1\neq0
    El rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema es incompatible.
  • Si a=1 tenemos la matriz de coeficientes A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 1 ya que las filas segunda y tercera son iguales a la primera.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango también es 1 por el mismo motivo. En este caso el sistema es compatible indeterminado.

c) El sistema es compatible en el caso a=1. En este caso tenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\x+y+z=1\\x+y+z=1\end{array}\right.

que es equivalente a la ecuación:

x+y+z=1

Para resolver este sistema parametrizamos y=\lambda y z=\mu:

x=1-\lambda-\mu

Tenemos así la solución:

\boxed{\left\{\begin{array}{l}x=1-\lambda-\mu\\y=\lambda\\z=\mu\end{array}\right.}\qquad\text{con }a=1

El sistema también es compatible si a\neq-2 y a\neq1. Al ser un sistema compatible determinado lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

\begin{pmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&a\\1&a&1\\1&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{a+1+a-a^2-1-1}{-a^3+3a-2}=\dfrac{-a^2+2a-1}{-a^3+3a-2}=\\\\=\dfrac{-(a-1)^2}{-(a+2)(a-1)^2}=\dfrac1{a+2}

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&a\\1&1&1\\a&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{a+1+a-a^2-1-1}{-a^3+3a-2}=\dfrac{-a^2+2a-1}{-a^3+3a-2}=\\\\=\dfrac{-(a-1)^2}{-(a+2)(a-1)^2}=\dfrac1{a+2}

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\a&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{a+1+a-a^2-1-1}{-a^3+3a-2}=\dfrac{-a^2+2a-1}{-a^3+3a-2}=\\\\=\dfrac{-(a-1)^2}{-(a+2)(a-1)^2}=\dfrac1{a+2}

Tenemos así la solución:

\boxed{x=\dfrac1{a+2},~y=\dfrac1{a+2},~z=\dfrac1{a+2}}\qquad\text{con }a\neq-2\text{ y }a\neq1

Rio-MII-O-19-4A

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