Problema 1778

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+az&=1\\x+ay+z&=a\\ax+y+z&=a+3\end{array}\right.

a) Determine para qué valores de a el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para a = 0.
b) Determine para qué valor de a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c) Determine para qué valor de a el sistema no tiene solución.


Solución:

a) Dado que el sistema tiene 3 variables, según el teorema de Rouché-Fröbenius, este será compatible determinado (tendrá solución única) si el rango de la matriz de coeficientes es 3, es decir, su determinante es distinto de 0.
La matriz de coeficientes es:

M=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{pmatrix}

Calculamos su determinante:

|M|=\begin{vmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{vmatrix}=a+a+a-a^3-1-1=-a^3+3a-2

determinante que se anula para a=-2 y a=1, luego, el sistema tiene solución única para todo a distinto de -2 y 1.

En el caso a=0 tenemos el sistema compatible determinado:

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=1\\x+z&=0\\y+z&=3\end{array}\right.

En forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}

Para resolver este sistema utilizamos la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\0&0&1\\3&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{3-1}{-2}=-1

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&3&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{-1-3}{-2}=2

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{1-3}{-2}=1


b) Estudiemos los casos restantes a=-2 y a=1.

  • Si a=-2 la matriz de coeficiente es M=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=-2-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&1&-2&1\\1&-2&1&-2\\-2&1&1&1\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&-2\\-2&1&1\end{vmatrix}=-2+4+1-4-1+2=0
    En este caso rg(M)=rg(M*)=2<n y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si a=1 la matriz de coeficientes es M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 1 ya que las filas segunda y tercera son iguales a la primera.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&4\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&1\\1&4\end{vmatrix}=4-1\neq0
    Luego el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es incompatible.

Resolvemos el sistema compatible indeterminado donde a=-2:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-2z&=1\\x-2y+z&=-2\\-2x+y+z&=1\end{array}\right.

Sistema que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-2z&=1\\x-2y+z&=-2\end{array}\right.

Parametrizamos z=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=1+2\lambda\\x-2y&=-2-\lambda\end{array}\right.

Si a la ecuación primera le restamos la segunda obtenemos:

3y=3+3\lambda~;\\\\y=1+\lambda

Sustituyendo en la primera ecuación:

x+y=1+2\lambda~;\\\\x=1+2\lambda-(1+\lambda)~;\\\\x=\lambda

La solución es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=1+\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.


c) Como se vio en el apartado anterior, el sistema es incompatible para a=1.

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