Problema 1786

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible:

\left\{\begin{array}{rl}(a+2)x-y-az&=-a\\(-a-2)x+2y+(a^2-a)z&=3a-1\\(a+2)x-2y+(2-2a)z&=-2a\end{array}\right.


Solución:

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}a+2&-1&-a\\-a-2&2&a^2-a\\a+2&-2&2-2a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a\\3a-1\\-2a\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes M. Utilizamos para ello las propiedades de los determinantes:

|M|=\begin{vmatrix}a+2&-1&-a\\-a-2&2&a^2-a\\a+2&-2&2-2a\end{vmatrix}\overset{P.6}=(a+2)\begin{vmatrix}1&-1&-a\\-1&2&a^2-a\\1&-2&2-2a\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.7}=(a+2)\begin{vmatrix}1&-1&0\\-1&2&a^2\\1&-2&2\end{vmatrix}+(a+2)\begin{vmatrix}1&-1&-a\\-1&2&-a\\1&-2&-2a\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.6}=(a+2)\begin{vmatrix}1&-1&0\\-1&2&a^2\\1&-2&2\end{vmatrix}-a(a+2)\begin{vmatrix}1&-1&1\\-1&2&1\\1&-2&2\end{vmatrix}=\\\\=(a+2)(4-a^2-2+2a^2)-a(a+2)(4-1+2-2-2+2)=\\\\=(a+2)(a^2+2)-3a(a+2)=(a+2)(a^2-3a+2)=\\\\=(a+2)(a-1)(a-2)

Determinante que se anula para a=-2, a=1 y a=2.

  • Si a\neq-2\text{ y }a\neq1\text{ y }a\neq2 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=-2 entonces M=\begin{pmatrix}0&-1&2\\0&2&6\\0&-2&6\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&2\\2&6\end{vmatrix}=-6-4\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}0&-1&2&2\\0&2&6&-7\\0&-2&6&4\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}-1&2&2\\2&6&-7\\-2&6&4\end{vmatrix}=-24+28+24+24-16-42=-6\neq0
    Luego rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.
  • Si a=1 entonces M=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-3&2&0\\3&-2&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&-1\\2&0\end{vmatrix}=2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}3&-1&-1&-1\\-3&2&0&2\\3&-2&0&-2\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}-1&-1&-1\\2&0&2\\-2&0&-2\end{vmatrix}=4-4=0
    Luego rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si a=2 entonces M=\begin{pmatrix}4&-1&-2\\-4&2&2\\4&-2&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&-2\\2&2\end{vmatrix}=-2+4\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}4&-1&-2&-2\\-4&2&2&5\\4&-2&-2&-4\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}-1&-2&-2\\2&2&5\\-2&-2&-4\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1&2&2\\2&2&5\\1&1&2\end{vmatrix}=2(4+10+4-4-8-5)=2\cdot1\neq0
    Luego rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.

Resolvemos el sistema para a\neq-2\text{ y }a\neq1\text{ y }a\neq2. Utilizar la regla de Cramer sería muy laborioso. En su lugar resolvemos el sistema utilizando el método de Gauss-Jordan:

\left\{\begin{array}{rl}(a+2)x-y-az&=-a\\(-a-2)x+2y+(a^2-a)z&=3a-1\\(a+2)x-2y+(2-2a)z&=-2a\end{array}\right.\qquad\rightarrow\qquad\left[\begin{array}{c}E_1+E_2\rightarrow E_2\\E_1-E_3\rightarrow E_3\end{array}\right]\\\\\rightarrow\qquad\left\{\begin{array}{rl}(a+2)x-y-az&=-a\\y+(a^2-2a)z&=2a-1\\y+(a-2)z&=a\end{array}\right.\qquad\rightarrow\qquad\Big[E_2-E_3\rightarrow E_3\Big]\\\\\rightarrow\qquad\left\{\begin{array}{rl}(a+2)x-y-az&=-a\\y+(a^2-2a)z&=2a-1\\(a^2-3a+2)z&=a-1\end{array}\right.

De la última ecuación:

z=\dfrac{a-1}{a^2-3a+2}=\dfrac{a-1}{(a-1)(a-2)}~;\\\\\boxed{z=\dfrac1{a-2}}

Sustituyendo z en la ecuación y+(a^2-2a)z=2a-1:

y=2a-1-(a^2-2a)\dfrac1{a-2}=2a-1-(a(a-2)\dfrac1{a-2}~;\\\\\boxed{y=a-1}

Sustituyendo z e y en la ecuación (a+2)x-y-az=-a:

(a+2)x=-a+(a-1)+a\dfrac1{a-2}=-1+\dfrac a{a-2}~;\\\\(a+2)x=\dfrac{-a+2+a}{a-2}=\dfrac2{a-2}~;\\\\\boxed{x=\dfrac2{a^2-4}}


Resolvemos el sistema para a=1. En este caso el sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}3x-y-z&=-1\\-3x+2y&=2\\3x-2y&=-2\end{array}\right.

Sistema que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}3x-y-z&=-1\\-3x+2y&=2\end{array}\right.

Parametrizamos x=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}-y-z&=-1-3\lambda\\2y&=2+3\lambda\end{array}\right.

De la última ecuación tenemos:

y=\dfrac{2+3\lambda}2

y de la penúltima ecuación:

z=-y+1+3\lambda~;\\\\z=\dfrac{-2-3\lambda}2+1+3\lambda~;\\\\z=\dfrac{3\lambda}2

La solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=\frac{2+3\lambda}2\\z=\frac{3\lambda}2\end{array}\right.\qquad\lambda\in\mathbb R

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