Problema 1789

Demuestra que existe \alpha\in(-1,3) tal que f'(\alpha)=-\frac14, siendo

f(x)=\Big[x^2+\log(x^2-2x+7)\Big]^{\sqrt[3]{\frac{3-x}4}}

Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.


Solución:

Comenzamos calculando el dominio de f por trozos.

Calculamos las raíces del polinomio de segundo grado:

x^2-2x+7=0~;\\\\x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4\cdot1\cdot7}}{2\cdot1}=\dfrac{2\pm\sqrt{-24}}2

Observamos que este polinomio no tiene raíces reales. Es siempre positivo ya que las funciones polinómicas son continuas en \mathbb R y para x=0 su valor es positivo. Luego \log(x^2-2x+7) está definido en \mathbb R (los logaritmos se definen para valores positivos).
La base completa x^2+\log(x^2-2x+7) también está definido en \mathbb R.
La raíz cúbica (impar) \sqrt[3]{\frac{3-x}4} también está definida en \mathbb R (afecta a una función polinómica).

Al tratarse de operaciones elementales de funciones elementales definidas todas ellas en \mathbb R podemos concluir que f(x) es continua y derivable en \mathbb R.

Utilizando el teorema del valor medio de Lagrange, tomamos a=-1 y b=3. Dado que f es continua en [-1,3] y derivable en (-1,3) vamos a calcular:

\bullet~f(-1)=\Big[(-1)^2+\log((-1)^2-2\cdot(-1)+7)\Big]^{\sqrt[3]{\frac{3-(-1)}4}}=\Big[1+\log10\Big]^1=2

\bullet~f(3)=\Big[3^2+\log(3^2-2\cdot3+7)\Big]^{\sqrt[3]{\frac{3-3}4}}=\Big[9+\log10\Big]^0=1

Sustituyendo en:

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

tenemos:

\dfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\dfrac{1-2}{3+1}=\dfrac{-1}4

Luego, dado que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio de Lagrange, podemos asegurar que existe un \alpha\in(-1,3) tal que f'(\alpha)=\frac{-1}4.

Deja un comentario