Problema 1789

Demuestra que existe $\alpha\in(-1,3)$ tal que $f'(\alpha)=-\frac14$ , siendo

$f(x)=\Big[x^2+\log(x^2-2x+7)\Big]^{\sqrt[3]{\frac{3-x}4}}$

Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Solución:

Comenzamos calculando el dominio de f por trozos.

Calculamos las raíces del polinomio de segundo grado:

$x^2-2x+7=0~;\\\\x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4\cdot1\cdot7}}{2\cdot1}=\dfrac{2\pm\sqrt{-24}}2$

Observamos que este polinomio no tiene raíces reales. Es siempre positivo ya que las funciones polinómicas son continuas en $\mathbb R$ y para x=0 su valor es positivo. Luego $\log(x^2-2x+7)$ está definido en $\mathbb R$ (los logaritmos se definen para valores positivos).
La base completa $x^2+\log(x^2-2x+7)$ también está definido en $\mathbb R$ .
La raíz cúbica (impar) $\sqrt[3]{\frac{3-x}4}$ también está definida en $\mathbb R$ (afecta a una función polinómica).

Al tratarse de operaciones elementales de funciones elementales definidas todas ellas en $\mathbb R$ podemos concluir que $f(x)$ es continua y derivable en $\mathbb R$ .

Utilizando el teorema del valor medio de Lagrange, tomamos a=-1 y b=3. Dado que f es continua en [-1,3] y derivable en (-1,3) vamos a calcular:

$\bullet~f(-1)=\Big[(-1)^2+\log((-1)^2-2\cdot(-1)+7)\Big]^{\sqrt[3]{\frac{3-(-1)}4}}=\Big[1+\log10\Big]^1=2$

$\bullet~f(3)=\Big[3^2+\log(3^2-2\cdot3+7)\Big]^{\sqrt[3]{\frac{3-3}4}}=\Big[9+\log10\Big]^0=1$

Sustituyendo en:

$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

tenemos:

$\dfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\dfrac{1-2}{3+1}=\dfrac{-1}4$

Luego, dado que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio de Lagrange, podemos asegurar que existe un $\alpha\in(-1,3)$ tal que $f'(\alpha)=\frac{-1}4$ .

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Exámenes resueltos de Selectividad, EVAU, EBAU

Problema 1789

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