Problema 1790

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II, ,

Resuelve la ecuación matricial X\cdot A^{35}=A^{25} teniendo en cuenta que A es la matriz:

A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}

Solución:

Empezamos calculando potencias de A:

A^2=AA=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}\\\\A^3=A^2A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I

Dado que A^3=I ya podemos calcular la potencia enésima de n. Para ello hacemos la división entera del exponente entre 3 y nos quedamos con el resto de la división.

  • \frac{35}3 tiene cociente 11 y resto 2 luego A^{35}=A^2
  • \frac{25}3 tiene cociente 8 y resto 1 luego A^{25}=A

Resolver la ecuación XA^{35}=A^{25} es lo mismo que resolver XA^2=A:

XAA=A~;\\\\XAAA^{-1}=AA^{-1}~;\\\\XAI=I~;\\\\XA=I~;\\\\X=A^{-1}

Calculamos la inversa de A con la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}\,A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}-1&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\\\\\text{Adj}\,A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\dfrac11\cdot\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}^t~;\\\\\boxed{X=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}

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Nav-MII-O-19-1B

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