Aplicaciones lineales: núcleo e imagen.

Sea la aplicación lineal f:~\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^3 con f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+3x_2-x_3,2x_2,x_1+x_2-x_3). En forma matricial se cumple:

\underbrace{\begin{pmatrix}1&3&-1\\0&2&0\\1&1&-1\end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}

La matriz asociada A tiene rango 2 ya que |A|=0 y:

\begin{vmatrix}1&3\\0&2\end{vmatrix}=2\neq0

El núcleo de f es:

\ker(f)=\left\{\begin{array}{l}x_1+3x_2-x_3=0\\2x_2=0\end{array}\right.

La imagen de f es:

\text{Img}(f)=<(1,0,1),(3,2,1)>


Siendo la aplicación lineal f:~V\rightarrow W se cumple:

\boxed{\dim(\ker(f))+\dim(\text{Img}(f))=\dim(V)}