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Problema 1520

a) Sea la función f(x)=ax^3-2x^2-x+b con a,~b\in\mathbb R. Determina razonadamente los valores de a y b para que la gráfica de la función pase por el punto (1, 2) y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea 1.

b) Sea la función f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-ax+1&x<0\\be^x&x\geq0\end{array}\right., con a,~b\in\mathbb R. Determina razonadamente los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en x = 0.

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Problema 1514

En ajedrez, la mitad de las partidas se juegan con piezas blancas y la otra mitad con negras. Un determinado jugador gana el 40% de las partidas oficiales que juega con blancas y el 30% jugando con negras.

a) Calcula la probabilidad de que gane una partida concreta si no sabemos con qué piezas jugará.
b) Calcula la probabilidad de que haya jugado con blancas una partida concreta, sabiendo que ha ganado.

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Problema 1512

En una población, la proporción de personas infectadas por una determinada enfermedad en función del tiempo, I(t), viene dada por la función I(t)=\left\{\begin{array}{ccc}ke^{2t}&\text{si}&t<1\\\frac{t^2}{3t^2+1}&\text{si}&t\geq1\end{array}\right., siendo k una constante real, t el tiempo en años desde el inicio de la epidemia y t=1 el inicio de la vacunación.

a) Calcula el valor de k para que I(t) sea continua.
b) Calcula la proporción de personas infectadas cuando t\rightarrow\infty.
c) Calcula la velocidad de crecimiento de I(t) para el instante t=\frac12.
d) Calcula la velocidad de crecimiento de I(t) para el instante t=2.

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