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Problema 1418

En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes.

Considere los puntos A=(a,4,3), B=(0,0,5) y C=(0,3,-1).

a) Calcule los valores de a para los cuales el triángulo ABC tiene un ángulo recto en el vértice A.
b) Tomando el valor de a=3, determine la ecuación del plano que pasa por los puntos A y B y es paralelo a la recta dada por \left\{\begin{array}{rl}x-y+z&=0\\2x+y&=3\end{array}\right.

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Problema 1415

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

Se quiere diseñar una lata de refresco de forma cilíndrica, con tapas inferior y superior. El material para las tapas tiene un coste de 5 euros cada cm² y el material para el resto del cilindro tiene un coste de 3 euros cada cm².

a) Si denotamos por x el radio de las tapas y por y la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por 10\pi x^2+6\pi xy.
b) Si el volumen de la lata es 90\pi cm³ , determine sus dimensiones (radio y altura) para que el coste del material sea mínimo.

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Problema 1412

El consumo diario de pan de un estudiante de secundaria sigue una distribución normal de media \mu y desviación típica 20 gramos.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 36. Calcule la probabilidad de que la media muestral X no supere los 125 gramos si \mu=120 gramos.
b) Sabiendo que para una muestra aleatoria simple de 81 estudiantes de secundaria se ha obtenido el intervalo de confianza (117,3444; 124,6556) para \mu, determine el nivel de confianza con el que se obtuvo dicho intervalo.

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Problema 1409

Un almacén de frutos secos tiene un saco de 50 kg de almendras y otro de 25 kg de avellanas. Quiere mezclarlos para preparar bolsas mixtas para su venta. La cantidad de almendras de la mezcla ha de ser como mínimo 1,5 veces la cantidad de avellanas. Además, para que le sea rentable la preparación, deberá vender al menos 60 kg entre ambos tipos de frutos secos. Por otra parte, no puede vender más de 70 kg entre ambos.
Represente la región factible. Calcule la cantidad de cada fruto seco que ha de contener la mezcla para obtener el máximo beneficio si un kg de almendras le deja un beneficio de 1 € y un kg de avellanas de 2 €, y obtenga el beneficio que se obtiene con la venta de esta mezcla.

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