Archivo de la categoría: Álgebra CCSS

Problema 1677

📖Álgebra CCSS, Matrices y determinantes CCSS, Selectividad Mat CCSSEcuaciones matriciales, matrices y determinanteseMatecs

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}2&-2\\0&1\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}4&2\\-2&6\end{pmatrix}$ , responda a las siguientes cuestiones:

a) Calcule $A^{-1}$ y $B^{-1}$ .
b) Resuelva la ecuación matricial $C-A=2X-6I$ .
c) Resuelva la ecuación matricial $AXB=C$ .

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Problema 1669

📖Álgebra CCSS, Matrices y determinantes CCSS, Selectividad Mat CCSSmatrices y determinantes, Propiedades de los determinantes, Rangos de matriceseMatecs

Consideremos la ecuación matricial

$X^2-X=2I$

donde I es la matriz identidad.

a) ¿Qué matrices de la forma $X=\begin{pmatrix}a&b\\0&-1\end{pmatrix}$ cumplen la ecuación?
b) ¿Se puede expresar en general la diferencia $X^2-X$ como un producto de matrices?
c) Si X es una matriz cuadrada de orden n que cumple la ecuación, ¿cuál es su rango?

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Problema 1668

📖Álgebra CCSS, Selectividad Mat CCSS, Sistemas de ecuaciones CCSSRegla de Cramer, sistemas de ecuaciones, Teorema de Rouché-FröbeniuseMatecs

Discute el siguiente sistema en función del parámetro a:

$\left\{\begin{array}{rl}x+ay&=1\\2x-ay+2az&=5\\x+3y-z&=0\end{array}\right.$

Resuelve el sistema si a=1.

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Problema 1667

📖Álgebra CCSS, Selectividad Mat CCSS, Sistemas de ecuaciones CCSSRegla de Cramer, sistemas de ecuacioneseMatecs

Tres nietos desean hacer un regalo de 60 euros a su abuela y deciden reunir esta cantidad de la siguiente forma: Luis, el mayor, aporta el triple de lo que aportan los otros dos juntos. Carmen aporta 3 euros por cada dos que aporta Pedro.

a) Plantear el sistema de ecuaciones lineales.
b) Resolver el sistema.
c) ¿Cuánto aporta cada nieto?

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Problema 1654

📖Álgebra CCSS, Matrices y determinantes CCSS, Selectividad Mat CCSSEcuaciones matriciales, matrices y determinantes, Matriz inversaeMatecs

Considerar las siguientes matrices:

$M=\begin{pmatrix}k&1&0\\2&-1&3k\end{pmatrix}\qquad N=\begin{pmatrix}0&2\\k&-1\\-2&3\end{pmatrix}$

a) Razonar si es posible calcular los productos $MN$ y $M^2$ . En el caso de que lo sea, calcularlos.
b) Estudiar para qué valores de k es $MN$ invertible.
c) Calcular la inversa de $MN$ para k=1.
d) Para k=1, encontrar la matriz X que cumple $(MN)X=B$ con $B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ .

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Problema 1652

📖Álgebra CCSS, Selectividad Mat CCSS, Sistemas de ecuaciones CCSSRegla de Cramer, sistemas de ecuaciones, Teorema de Rouché-FröbeniuseMatecs

Dado el sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

$\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=5\\5x+ay-z&=11\\3x-y+az&=2\end{array}\right.$

a) Discutir para qué valores de a el sistema tiene solución y cuántas tiene en cada caso.
b) Encontrar la solución del sistema para a=2.

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Problema 1646

📖Álgebra CCSS, Matrices y determinantes CCSS, Selectividad Mat CCSSEcuaciones matriciales, matrices y determinantes, Matriz inversaeMatecs

Dadas las matrices

$A=\begin{pmatrix}m&4&4\\0&2&4\\0&0&1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1&-1&2\\1&0&1\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&2&-1\end{pmatrix}$

a) Determine para que valores de m existe la matriz inversa de A.
b) Despeje la matriz X tal que $XA+B=C$ y calcúlela para m=1.

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Problema 1641

📖Álgebra CCSS, Selectividad Mat CCSS, Sistemas de ecuaciones CCSSRegla de Cramer, sistemas de ecuacioneseMatecs

En una empresa de 57 trabajadores el gasto en salarios en este mes ha sido de 62000 euros. En la empresa hay trabajadores de tres categorías, denominadas A, B y C. Este mes el salario de los trabajadores de la categoría A ha sido de 800 euros, el de los trabajadores de la categoría B de 1000 euros y el de los trabajadores de la categoría C de 2000 euros. Una auditoría externa ha indicado que la desigualdad salarial entre los trabajadores de la empresa es excesiva, por lo que se ha decidido que el próximo mes se incrementará en un 4% el salario a los trabajadores de la categoría A, se mantendrá el salario a los trabajadores de la categoría B y se rebajará en un 10% el salario a los trabajadores de la categoría C. De esta manera, el gasto de la empresa en salarios en el próximo mes será un 2% inferior al gasto en salarios de este mes. ¿Cuántos trabajadores de cada categoría tiene la empresa?

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Problema 1639

📖Álgebra CCSS, Matrices y determinantes CCSS, Selectividad Mat CCSSMatrices, Matrices por recurrenciaeMatecs

Considerar la matriz $A=\begin{pmatrix}a&0\\1&a\end{pmatrix}$ , donde a es un número real.

a) Calcular $A^2,~A^3,~A^4$ .
b) Deduzca cuánto valdrá la matriz $A^{100}$ .

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Problema 1638

📖Álgebra CCSS, Selectividad Mat CCSS, Sistemas de ecuaciones CCSSsistemas de ecuacioneseMatecs

Hacemos dos pruebas de consumo de combustible en un vehículo: en la primera, el vehículo recorre 200 km por carretera y 100 km por ciudad, y consume un total de 17 litros, mientras que en la segunda recorre 300 km por carretera y 50 km por ciudad, consumiendo 17,5 litros. Suponiendo que los consumos medios por carretera y por ciudad son siempre constantes:

a) ¿Cuál es el consumo medio por 100 km en cada una de las dos pruebas?
b) ¿Cuántos litros consumirá el mismo vehículo si en una tercera prueba recorre 400 km por carretera y 150 km por ciudad?

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