Archivo de la categoría: Análisis CCSS

Problema 1374

Sea la función f(x)=x^3+ax^2+bx+1:

a) Determinar los valores de a y b de forma que la función tenga un extremo relativo en x=1 y la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x=0 tenga de pendiente m=1.
b) Si en la función anterior a=-2 y b=-4, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como sus extremos relativos.

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Problema 1367

La parte positiva de la función f(t)=-2t^2+16t indica la gravedad de un enfermo desde que contrae una determinada enfermedad hasta que vuelve a estar sano.

a) Haz un esbozo de la gráfica de la función.
b) Si la variable t se mide en días , ¿cuántos días dura la enfermedad?
c) ¿En qué día del proceso está más grave el enfermo?

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Problema 1366

Sea la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0&\text{si}&x<0\\x^2&\text{si}&0\leq x<1\\ax-2&\text{si}&1\leq x\end{array}\right.

a) ¿Para qué valor de a la función es continua?
b) Utilizando el valor de a del apartado a), esboza una gráfica de la función f.
c) Con el valor de a del apartado a) , calcula el área encerrada por la gráfica de la función f , el eje OX y la recta x = 3.

NOTA: si no has conseguido determinar a, toma a= 3 en los apartados b) y c).

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Problema 1365

Consideramos la función f(x)=x^4-ax^2+b

a) ¿Qué valores deben tomar a y b para que la función tenga un mínimo en el punto (1,0)?
b) Con los valores de a y b del apartado a), calcula los puntos donde f(x) tiene tangente paralela a la recta y = 1.
c) Calcula la recta tangente a la función en el punto x = 1.

NOTA: si no has conseguido determinar a y b en el apartado anterior, toma a= 2 y b =1 en los apartados b) y c).

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Problema 1360

La empresa XYPERIA ha encargado la construcción de su logotipo corporativo en madera y cobre, tomando como modelo la figura adjunta, que diseñó una empresa contratada para ello. El círculo, que será de madera, está centrado en el punto (0,0) y tiene 2 metros de radio. Las funciones que delimitan el área sombreada son:

f(x)=x^3-x\qquad g(x)=x

a) La zona sombreada se va a recubrir de cobre ¿Qué superficie tiene esta zona?
b) Teniendo en cuenta que el m² de plancha de cobre se cobra a 60 € y no se desperdicia nada, que el coste de mano de obra es el 30% de lo que cuesta el cobre, y que el círculo de madera, el transporte y el montaje in situ tienen un coste de fijo 270 €, ¿cuánto deberá pagar XYPERIA por la construcción e instalación de su logotipo corporativo?

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Problema 1356

Una empresa que ofrece servicios en internet tiene, en el día de más actividad del, año una demanda de datos que viene dada por la función:

D(t)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac1{10}t^2-\dfrac65t+4&\text{si}&0\leq t\leq8\\\\\dfrac{-36}t+6&\text{si}&8<t\leq24\end{array}\right.

donde t es la hora del día (de 0 a 24) y D(t) es la demanda de datos a esa hora expresada en cientos de Gigabits por segundo.

a) Representa gráficamente la función. ¿Hubo una demanda continua de datos a lo largo del día? En caso negativo, ¿a qué hora hubo un salto instantáneo de la demanda y cuál fue la magnitud del salto?
b) Calcula los valores de las demandas mínima y máxima absolutas y cuando se alcanzaron.

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Problema 1352

Considerar la función f tal que su primera derivada es f'(x)=x^3+bx+4, donde b es un parámetro real.

a) Determinar el valor de b para que f tenga un extremo relativo en x=-1 y razonar si se trata de un máximo o de un mínimo.
b) Suponiendo que b=1, encontrar una primitiva de f'(x).
c) Utilizar el resultado anterior para encontrar f(x) con b=1 sabiendo que f(2)=-1.

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